集合の上限と下限についての理解方法

2011/05/17 18:13

Caperの回答

Caper
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2011/06/02 08:53 回答No.14

● RY0U さんを混乱させるような回答を私は続けてしまいましたね。ごめんなさい。　 ANo.13 の補足欄で RY0U さんが提示なさいました内容どおりでよいのではないかと、私は思います。　区間の両端を、a, b と表わすことにします。すなわち、a ∈ R, b ∈ R, a < b であるとして、(a, b) や [a, b] などについて考えるとします。そのとき、a と b との平均値は (a + b)/2 です。a と b との距離は、この場合、d(a, b) = b - a と表わすことができます。　このとき、(a, b) と [a, b] は、次のとおり、それぞれ「 ( 開 ) 球体」と「閉球体」という形で表わすことができます。　 (a, b) = B((a + b)/2; (b - a)/2) 　 [a, b] = B^*((a + b)/2; (b - a)/2) 　 ( B^* という記号は、B の右肩に *印が添えられたものです ) 　このことを念頭に置いて、集合・位相に関する文献に目をとおせば、RY0U さんが抱える疑問がいくぶん解消されるのではないかなと、私は思います。 ● 任意個数の開区間の和集合は必ず開集合となる。　集合・位相に関する文献では「任意個数の開 "集合" の和集合は開集合である」という定理によって、このことは説明がつくと思われます。その定理の証明については、下の添付画像をごらんください。　任意個数の開区間の和集合が単一の開区間とならない例は、ANo.9 で示した (0, 1)∪(3, 5) などでよろしいかと思われます。　集合・位相に関する多くの文献では「開集合は開区間の和集合として表わされる」、すなわち「開集合は ( 開 ) 球体の和集合として表わされる」という定理についても言及されています。この定理に関する説明を読めば、開集合の成り立ちを理解するのに役立つかもしれません。 ● 任意個数の開区間の共通部分は、必ずしも開集合とはならない。　任意個数の開区間の共通部分が開集合とはならない例としては、次のものがあります。　 a を R の任意の元とし、いまその a を固定します。そして、n を N ( 自然数全部の集合 ) の任意の元とします。このとき、次の ( 開 ) 球体は、すなわち開区間は、もちろん開集合です。　 B(a; 1/n) = (a - (1/n), a + (1/n)) 　ところが、すべての n に対する B(a; 1/n) をかき集めて得た共通部分は {a} に等しくなります。　 ∩B(a; 1/n) = ∩(a - (1/n), a + (1/n)) = {a} 　 ( ∩ 記号の直下には n ∈ N と記述されるべきですが、それが省かれています ) 　最右辺の 1点から成る {a} という集合は、開集合ではありません。　有限個数の開区間の共通部分は必ず開集合になります。( このことについて、私はうかつな記述をこれまでにしてきました。ごめんなさい ) 　有限個数の開区間の共通部分が空集合でないのであれば、その共通部分はおそらく開区間になるのでしょうね。空集合を 1つの開区間として表記することができれば、有限個数の開区間の共通部分は必ず開区間になると言えると、私は今そのように認識しています。　左端が右端以上である (1, 1) や (3, 1) などという形で、空集合を表わすことができそうではあります。ですが、このように表わすことができるのか否かについて、私ははっきりした情報を持っていません。ただし、閉区間については、任意の R の元a に対して [a, a] と表記をすることが認められているようです。[a, a] はもちろん {a} と等しくなります。左端が右端より大きい [3, 1] などの形については、私ははっきりした情報を持っていません。　「有限個数の開集合の共通部分は必ず開集合となる」という定理の証明を、ANo.13 の添付画像に組み入れました。よろしかったらごらんください。 ● 任意の開集合の補集合は閉集合であり、任意の閉集合の補集合は開集合であります。ですから、あと 2つについての説明はおおかた省きます。　任意個数の閉区間の和集合が必ずしも閉集合とならない例についてですが、私が考えついたのは次のものです。　 ∪[1/n, 1] = (0, 1] 　 ( ∪ 記号の直下には n ∈ N と記述されるべきですが、それが省かれています ) ● 以上の記述は、松坂和夫著「集合・位相入門」( 岩波書店 1983年第 17 刷 ) を参考にしたものです。以上の記述に含まれる、まちがいや不備は、私の不勉強によるものであり、もちろんこの数学書によるものではありません。　また、これまでの私の記述 ( 次の Web ページ　 http://okwave.jp/qa/q6699589.html 　を含みます ) の中で取り扱ってまいりました位相はすべて、1次元もしくは 2次元 Euclid 空間におけるものです。一部において、数値や式を変更したり追加したりすることで、n次元 Euclid 空間についても同様の説明がつくと思われます。　くどいようですが、これまでの私の記述にまちがいや不備があった場合は、ごめんなさい。