集合の上限と下限についての理解方法

質問

• 集合の上限と下限について、Wikipediaによれば、上界の集合の最小元を上限、下界の集合の最大元を下限といいます。
• 具体的には、実数の部分集合Aに対して、上界とはAの任意の元xに対してx≦aが成り立つ実数aのことであり、上限はその中で最小の上界です。
• より具体的な理解のためには、具体例を見ると良いでしょう。

回答No.8

Caper

● 私が ANo.7 で伝えたかったことを、以下にくわしく述べさせてください。

　 ご質問の文章の中で紹介されました Web ページ の中から、上限の定義についての記述を抜き出しました。ごらんください。

● X を実数の集合とするとき、α = sup X ( α が X の上限である ) とは、

　 条件 S1:
　 任意の x ∈ X に対して x ≦ α

　 条件 S2:
　 β < α である任意の β に対して、ある x ∈ X が存在して β < x を満たす。

3) 条件 S2 は、α をちょっとでも減らすと、X の上界でなくなることを述べている。

4) X の 上限 (sup): X のどの数よりも小さくない数 ( 上界 ) の中で最小のもの。

● 3) は 条件 S2 の表現を少し変更しただけのものに過ぎません。ですから、条件 S2 と 3) とは論理的に同値です。
　「 条件 S1 と 条件 S2 」と 4) は表現が異なりまが、「 条件 S1 と 条件 S2 」と 4) は論理学的に同値です。

　「 条件 S1 と 条件 S2 」と 4) が論理学的に同値であるという理由は、以下のとおりです。

●「 条件 S1 と 条件 S2 」を述語論理式で表わすと、次の 5) のとおりになると、私は思います。

5) ∃α((α ∈ R)∧∀x((x ∈ X)→(x ≦ α))∧∀β(((β ∈ R)∧(β < α))→∃x((x ∈ X)∧(x > β))))

　 P, Q, R を次のとおりに定めれば、上記の 5) は 下記の 6) のとおりに表わすことができます。

　 P = (α ∈ R)
　 Q = (x ∈ X)→(x ≦ α)
　 R = ((β ∈ R)∧(β < α))→∃x((x ∈ X)∧(x > β))

6) ∃α(P∧∀x(Q)∧∀β(R))

　 なお、R については、次の変換を行なうことができます。

　 R ≡ ￢(∃x((x ∈ X)∧(x > β)))→￢((β ∈ R)∧(β < α))　…… 7)
　　 ≡ ∀x((x ∈ X)→(x ≦ β))→((β ∈ R)→(β ≧ α))　　　…… 8)
　　 ≡ ((β ∈ R)∧∀x((x ∈ X)→(x ≦ β)))→(β ≧ α)　　　…… 9)

　 上記の 7) で行なわれた変換は「 R の対偶をとること 」によるものです。8) で行なわれた変換は「 特称命題の否定の定義 」「 ド・モルガンの法則 」「 含意の定義 」によるものです。9) で行なわれた変換は「 U→(V→W) ≡ (U∧V)→W 」 によるものです。

　 上記の 9) のとおりに R を変換することによって表わされる述語論理式は、上記の 4) を示すものであると、私は思います。

● まちがっていたら、ごめんなさい。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ございません。

論理記号に慣れていないので理解するのに時間が掛かりました。

理解出来ました。

ありがとうございました。