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集合の上限と下限についての理解方法
Caperの回答
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● ANo.4 において、OurSQL さん は、次のようにおっしゃいました。「 sup X = 1 であることは 1 - (1/n) → 1 (n → +∞) であることと深く関係している 」 そして、ANo.4 の補足において、RY0U さん は、次のようにおっしゃいました。「 sup X は 1 - (1/n) → 1 (n → +∞) と考えるのに 」 この点については、「 実数の連続性 」という実数の性質がかかわっていると、私は思います。「 実数の連続性 」とは公理ではないようです。ですから、証明が必要なはずです。しかし、私はこの証明については、何ら知識を持っていません。 「 実数の連続性 」には、いろいろな表現のしかたがあるようです。そのうちの 2つ を紹介します。もちろん、この 2つ は論理学的に同値です。 1) 上に有界な 単調増加実数列 x_1, x_2, x_3, … は、ある値に収束する。( Weierstrass の定理 ) 2) 上に有界な実数の 集合X には、上限 sup X が存在する。 ですから、X = {1 - (1/n)| n ∈ N} を実数列と考えれば、上に有界であるから、1) によって、ある値に収束する。X = {1 - (1/n)| n ∈ N} を実数の集合と考えれば、上に有界であるから、2) によって、sup X が存在する。前者における収束した値が、後者における sup X に該当するということではないでしょうかね … 。 ● 開集合とは、自身が内部となっている集合のことです。1つ の開区間は、それ自身が内部になっているので、開集合です。例えば、「 2つ の開区間の和集合 」「 2つ の開区間の共通部分 」は両方とも開集合です。ですから、例えば、(0, 1)∪(3, 5) や (0, 2)∩(1, 5) は開集合です。ただし、任意個数の開区間の共通部分は、必ずしも開集合とはなりません。 閉集合とは、自身が閉包となっている集合のことです。1つ の閉区間は、それ自身が閉包となっているので、閉集合です。例えば、「 2つ の閉区間の和集合 」「 2つ の閉区間の共通部分 」は両方とも閉集合です。ですから、例えば、[0, 1]∪[3, 5] や [0, 2]∩[1, 5] は閉集合です。ただし、任意個数の閉区間の和集合は、必ずしも閉集合とはなりません。 ● これまでの私の記述にまちがいがあった場合は、ごめんなさい。
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ご回答ありがとうございます。 ＞開集合とは、自身が内部となっている集合のことです。 ＞1つ の開区間は、それ自身が内部になっているので、開集合です。 ＞例えば、「 2つ の開区間の和集合 」「 2つ の開区間の共通部分 」は両方とも開集合です。 ＞ですから、例えば、(0, 1)∪(3, 5) や (0, 2)∩(1, 5) は開集合です。 ＞ただし、任意個数の開区間の共通部分は、必ずしも開集合とはなりません。 ＞閉集合とは、自身が閉包となっている集合のことです。 ＞1つ の閉区間は、それ自身が閉包となっているので、閉集合です。 ＞例えば、「 2つ の閉区間の和集合 」「 2つ の閉区間の共通部分 」は両方とも閉集合です。 ＞ですから、例えば、[0, 1]∪[3, 5] や [0, 2]∩[1, 5] は閉集合です。 ＞ただし、任意個数の閉区間の和集合は、必ずしも閉集合とはなりません。 ＞閉集合が 1つ の閉区間であるとは限りません。 閉集合が2つ以上の閉区間からなる場合もあるという事ですね。 同様に、開集合も2つ以上の開区間からなる場合もある。 と理解出来ました。 さらに追加質問で恐縮なのですが、 ＞任意個数の開区間の共通部分は、必ずしも開集合とはなりません。 任意個数の開区間の和集合は必ず開区間となると認識しましたが正しいでしょうか？ ＞任意個数の閉区間の和集合は、必ずしも閉集合とはなりません。 任意個数の閉区間の共通部分は必ず閉区間となると認識しましたが正しいでしょうか？ ご回答よろしくお願い致します。