集合の上限と下限についての理解方法

質問

• 集合の上限と下限について、Wikipediaによれば、上界の集合の最小元を上限、下界の集合の最大元を下限といいます。
• 具体的には、実数の部分集合Aに対して、上界とはAの任意の元xに対してx≦aが成り立つ実数aのことであり、上限はその中で最小の上界です。
• より具体的な理解のためには、具体例を見ると良いでしょう。

回答No.11

OurSQL · ベストアンサー

仰るとおりです。
以下、A は R の空でない部分集合とします。

A が下に有界であることは、A の下限 inf A が存在するための必要十分条件です。
同様に、A が上に有界であることは、A の上限 sup A が存在するための必要十分条件です。
これらの場合、inf A やsup A が A の元である必要はありません。

min は最小元、max は最大元を表します。
A が下に有界であることは、min A が存在するための必要条件ですが、十分条件ではありません。
同様に、A が上に有界であることは、max A が存在するための必要条件ですが、十分条件ではありません。
min A が存在すれば min A ∈ A であり、max A が存在すれば max A ∈ A です。

A が下に有界のとき、A の下界すべてからなる集合を L とおきます。
このとき、L は必ず最大元 max L を持ち、inf A = max L が成り立ちます。
さらに、A が最小元 min A を持てば、min A = inf A = max L が成り立ちます。
同様に、
A が上に有界のとき、A の上界すべてからなる集合を U とおきます。
このとき、U は必ず最小元 min U を持ち、sup A = min U が成り立ちます。
さらに、A が最大元 max A を持てば、max A = sup A = min U が成り立ちます。

No.4 に挙げた10個の例のうち、いくつかをもう一度見てみましょう。

01. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } のとき、
A は上下に有界で、L = (－∞, 1], U = [5, + ∞)
また、A は最小元 min A と最大元 max A の両方を持ちます。よって、
min A = inf A = max L = 1, max A = sup A = min U = 5

03. A = (0, 1] のとき、
A は上下に有界で、L = (－∞, 0], U = [1, + ∞)
また、A は最大元 max A は持ちますが、最小元は持ちません。よって、
min A は無し, inf A = max L = 0, max A = sup A = min U = 1

08. A = (－∞, 1) のとき、
A は上に有界ですが、下に有界でないので、A の下界は存在しません。よって、
L = 空集合、U = [1, + ∞)
A は下に有界でないので、最小元も下限も持ちません。また、A は上に有界ですが、最大元は持ちません。よって、
min A は無し、inf A は無し、max A は無し、sup A = min U = 1

09. A = [0, + ∞) のとき、
A は下に有界ですが、上に有界でないので、A の上界は存在しません。よって、
L = (－∞, 0], U = 空集合
A は最小元は持ちますが、上に有界でないので、最大元も上限も持ちません。よって、
min A = inf A = max L = 0, max A は無し、sup A は無し

お礼

お礼が遅くなり申し訳ございません。
ご回答ありがとうございました。

理解できました。