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集合の上限と下限についての理解方法
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集合を表すカッコとしては {} を使います。 01. A = { 1, 2, 3, 4, 5 } の場合、集合 A は 1, 2, 3, 4, 5 を元(または要素)にもつ有限集合です。 02. A = [0, 1] の場合、本来なら A = { x ∈ R | 0 ≦ x ≦ 1 } と書くべきところを、ちょっと手抜きしたのです。 05. A = (0, 1) も同じで、A = { x ∈ R | 0 < x < 1 } と書くのは面倒なので、(0, 1) と書くことが多いです。 R の部分集合 A が有限集合なら、min A と max A は必ず存在して、inf A = min A, sup A = max A が成り立ちます。 R の部分集合 A が無限集合のとき、min A や max A は存在するとは限りません。 04. A = [0, 1) の場合、min A は存在しますが max A は存在しません。 min A が存在する場合、次の2つのことが成り立ちます。 (1) min A は 集合 A の元である。つまり、min A ∈ A (2) inf A = min A inf A は、A の元である場合もあるし、A の元でない場合もあります。 min A が存在する場合、inf A = min A が成り立つので、inf A ∈ A です。 04. A = [0, 1) の例では min A が存在するので、inf A = min A = 0 ∈ A となります。 同様に、max A が存在する場合、次の2つのことが成り立ちます。 (1) max A は 集合 A の元である。つまり、max A ∈ A (2) sup A = max A sup A は、A の元である場合もあるし、A の元でない場合もあります。 max A が存在する場合、sup A = max A が成り立つので、sup A ∈ A です。 04. A = [0, 1) の例では、sup A は存在しますが max A は存在しません。 この場合、sup A = 1 は A の元になっていません。 参考URL の例、X = { 1-(1/n) | n ∈ N } で考えてみます。 min X は存在して、inf X = min X = 0 ∈ X しかし、max X は存在しません。 lim { 1-(1/n) } = 1 [n --> ∞] が成り立つので、max X = 1 と考えたくなるかもしれません。 ですが、1 は X の元ではないので、max X = 1 というのは正しくありません。 ただし、sup X は X の元である必要はありません。よって、 lim { 1-(1/n) } = 1 [n --> ∞] という式の意味を考えれば、sup X = 1 であることを理解しやすいと思います。
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