- 締切済み
数列と極限
集合A,Bについて A ⊂ B inf A >= inf B sup A <= sup B が成立つことを背理法を使って示せ。 infは集合の下限を示し、supは上限を示す。 この問題の証明しかたが全くわかりません。 分かる方、よろしくお願いします。
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
みんなの回答
- kabaokaba
- ベストアンサー率51% (724/1416)
- toranekosan222
- ベストアンサー率33% (111/332)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
関連するQ&A
- sup?inf?よくわかりません・・・
質問なのですが、数列{An}の上限、下限を数列のなす集合{An}の上限、下限で定義しsup_nAn,inf_nAnとします。 このとき sup_n(An+Bn)≦sup_nAn+sup_nBn これが成立することはどのように証明すればいいのかさっぱり分かりません。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学数学の微積分Iの問題に教えてください。
微積分学Iの上限、下限に関する問題なのですが、、、 A、Bを実数の集合、kを実数とする。いま、 -A={-a:aはAの元} A+B={a+b:aはAの元、bはBの元} k+A={k+a:aはAの元} kA={ka:aはAの元} と定義する。このとき、次の公式が成立することを証明せよ。 (1)sup(-A)=-infA , inf(-A)=-supA. (2)sup(A+B)=supA+supB , inf(A+B)=infA+infB. (3)sup(k+A)=k+supA , inf(k+A)=k+infA. (4)k>0 ならば、sup kA=k supA , inf kA=k infA k<0 ならば、sup kA=k infA , inf kA=k supA 上限、下限の必要十分条件はわかっていますが、 どう証明を展開していけばいいのかわかりません。 どなたか簡単な指南、証明の仕方、きれいな回答の仕方のヒントでもよいのでおしえていただけませんか。 お願いします!!
- 締切済み
- 数学・算数
- 離散数学の半順序集合に関する問題
離散数学の半順序集合に関する問題 離散数学の問題が解けずに困っています。 以下の問題を詳しく解説を交えて解いていただけるとありがたいです。 Aを集合とするとき、半順序集合(P(A),⊆)について、次の(1)(2)に答えよ。 (1)X,Y∈P(A)の上限、下限をそれぞれsup{X,Y}、inf{X,Y}とする。 このとき、sup{X,Y}=X∪Y inf{X,Y}=X∩Y をそれぞれ証明せよ。 (2)半順序集合(P(A),⊆)は束であるかどうか述べよ。 以上です。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 上極限と下極限の一致する場合
inf{sup{ak|k≧n}|n∈ℕ}=sup{inf{ak|k≧n}|n∈ℕ}}=±∞の時、lim(n→∞)an=∞となることの証明をご教授頂きたいです。 収束する場合(zが有限値)は以下のように証明しています。 inf{sup{an|n≧k}|k∈ℕ}=sup{inf{an|n≧k}|k∈ℕ}}=zについて、上限の定義からz-ε<pとなるp∈{inf{an|n≧k}|k∈ℕ}} があり、同時に下限の定義から p<z+εとなるp∈{sup{an|n≧k}|k∈ℕ} がある。すなわち、p=inf{an|n≧k}かつp=sup{an|n≧k}となるkがある。 また、 inf{an|n≧k}≦an≦sup{an|n≧k}なので n≧kでz-ε<an<z+εとなり、|an-z|<εが得られる。 よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 解析学の基本事項の証明の仕方・・・
解析学の基本事項の証明の仕方・・・ 上限・下限の証明を、∀、∃を使って、どう表記すべきか? 全てのsup , inf の記号の下に、 n∈Nが付きます。 sup(a_n)={a₁,a₂,a₃・・・・a_n} 、 sup(b_n)={b₁,b₂,b₃・・・・・,b_n} sup(a_n+b_n)=sup(a₁+b₁,a₂+b₂+・・・・・a_n+b_n} とするとき (1)a_n>0 ,b_n>0⇒ sup(a_n・b_n) <= sup(a_n)・sup(b_n) (2)a_n>0 ,b_n>0⇒ inf(a_n・b_n) >= inf(a_n)・inf(b_n) (3)sup(a_n - b_n) >= sup(a_n) - sup(b_n) (4)inf(a_n - b_n) <= inf(a_n) - inf(b_n) (5)inf(a_n + b_n) >= inf(a_n) + inf(b_n) 上記(1)~(5)の証明を、∀、∃を使ってどう表記すべきか? 基本的な性質みたいなものなので、三角不等式の証明みたいな感じに なるような気はしますが、記号の使い方に慣れていないので手が出ません。 どのように記述したら証明した事になるのでしょう?
- 締切済み
- 数学・算数
- 極限集合の証明がわからないので助けてください。
集合族で一般に lim inf An ⊂ lim sup An n→∞ n→∞. が成り立ちますが、この証明はどのようにすればよいのでしょうか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 集合 上限 下限
集合 上限 下限 Wikipediaによれば、 上界の集合の最小元(つまり、最小の上界)のことを、上限といい、sup(A) と書く。 下界の集合の最大元(つまり、最大の下界)のことを、下限といい、inf(A) と書く。 http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/supmax031208.pdf を参考にしたのですが理解出来できませんでした。 Aを実数の部分集合とするとき、 実数 a が、Aの上界であるとは、Aの任意の元x に対して、x≦a が成り立つことである。 そのなかで、最小の上界を上限と言う。 ピンときません・・・ 具体例を示して教えて頂けるとありがたいです。 ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 大学のプリント問題なのですが、下記が分かりません。
大学のプリント問題なのですが、下記が分かりません。 お答えいただける方、お願いします。 問.実数の空でない、有界な部分集合A、Bに対して、次を証明せよ。 (1)A⊂B ⇒ infB ≦ infA ≦ supA ≦ supB (2)Aは正数の集合とし、1/A={1/x:x∈A}とする。 このとき、 sup(1/A)=1/infA、inf(1/A)=1/supA
- ベストアンサー
- 数学・算数
- リーマン積分の問題で質問があります。
志賀徳造著の「ルベーグ積分から確率論」を勉強中なのですが 問題1.3の不等式の証明が良く分かりません。 [a.b]で有界な関数f,gと[a,b]の分割Δに対して 関数fgの上限和と下限和の差が下の様になる という不等式が何故成り立つのか良く分かりません。 ここで、上限和・下限和や分割Δの定義は多くの本で用いられているもの と同値なので、下の2点だけ注意しておきます。 ||f||_∞ = sup{ |f(x)| :x∈[a,b]} ||g||_∞ = sup{ |g(x)| :x∈[a,b]} です。 ヒントだけでも良いので、どなたかお答えいただけないでしょうか。 回答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
すみません。イプシロン-デルタ論法で証明せよが抜けていました。 なぜなるのかはわかるのですがイプシロンデルタ論法でどう証明したらいいのかがわかりません。