ミクロ経済学 費用最小化問題について

質問

２つの生産要素,Ｌ（労働）とＫ（資本）とを用いて、財Ｘを生産している完全競争企業があるとする。
この企業の生産関数は、
X=4L^1/2 K^1/2
で与えられていたとする。

(1)　Lの価格は１、Ｋの価格は４で、生産量は１０であるとする。この時、費用を最小にするＬとＫの
　　　組み合わせはいくらになるか、それぞれ計算せよ。
(2)　上で求めた値を用いて、企業の最小費用がいくらになるか計算せよ。

(1)がよくわかりません。費用最小化条件の技術的限界代替率＝要素価格比というのが関連してる
と思うのですが、解き方がわかりません。

どなたかご教授をお願いいたします。

回答No.3

noname#125931 · ベストアンサー

「技術的限界代替率=要素価格比」の使い方は以下の通り。
労働の資本に対する技術的限界代替率=K/L。
これが要素価格比に等しいという方程式が1つ。
生産量10だから10=4(LK)^(1/2)という方程式が1つ。
この2本の方程式を解く。

お礼

なんとか答えを導き出すことができました！
大変忙しいところ、私のために時間を割いていただいて
本当にありがとうございました。

回答No.2

noname#185706

＃１の訂正です。最後の行

>なので、ここで L は最小値をとる。

を

なので、ここで C は最小値をとる。

に訂正します。

お礼

丁寧な解説ありがとうございました。
おかげで答えと解き方を理解することができました。
忙しいところ本当にありがとうございました！

回答No.1

noname#185706

10 = 4 L^(1/2) K^(1/2)　(1)
C = L + 4 K　(2)
のとき、C を最小にする L, K を求めよ、という問題であるとします（私は素人なので確信はありません）。

(1)を２乗して整理すると、
25 = 4 L K、
K = 25/ (4 L)。　(3)

これを(2)に代入すると
C = L + 25 / L。

極値では、導関数
C' = 1 - 25 / L^2 = 0。
よって
L = ±5
だが、正の解だけとって
L = 5。

これと(3)より
K = 5/4。

このとき、２階導関数
C'' = 50 / L^3 > 0
なので、ここで L は最小値をとる。