ミクロ経済・生産関数の問題

質問

ある財の短期の生産関数がZ=x^1/4・y^1/2であるとする(xとyは生産要素aとbの投入量)。
生産要素aとbの価格が1と2、固定費用をFとする。

1.この財の費用最小化問題を解き、費用関数を求めよ。
2.限界費用、平均費用、平均可変費用を求めよ。
3.損益分岐点での財の価格pを求めよ。

この解答について
1.限界生産性の比=価格比だからa=b。よって費用関数は3a+F
2.限界費用=3、平均費用=3+F/a、平均可変費用=3

と解答していたのですが、3.の答えが出せない状態です。
1.、2.の解答がおかしいのか、また3.の解答をご教授いただければ幸いです。

回答No.2

statecollege · ベストアンサー

1と２のあなたの答えが正しくありません。費用関数とは、当該財の生産量Zの関数としてそのときにかかる（最小）費用を表わしたもの。それから、細かいことですが、aとbは生産要素の名前、aとbの投入量はｘとｙです。
費用最小化問題の１階の条件は確かにMRTS（＝限界生産性の比率）＝生産要素価格比率で、
ｘ＝ｙとなりますが、問題指示で、費用最小化問題を解き、・・とあるが、「費用最小化問題」は
min C= x + 2y + F
s.t.
Z = x^1/4・y^1/2
だ。費用最小化の１階の条件はMRTS= 1/2だが、
MRTS = [(1/4)x^(-3/4)・y^1/2]/[(1/2)x^1/4・y^(-1/2)] = (1/2)y/x
より、
(1/2)y/x = 1/2
よって生産要素aとbの費用最小の組み合わせには
y = x
の関係がある。これを短期の生産関数Z=x^1/4・y^1/2に代入すると
Z= x^1/4・x^1/2 = x^3/4
よって最適なa(b)の投入量x(y)と財の生産量Zとの間には
x = y =Z^4/3
の関係がある。これらを等費用曲線C=x+2y+Fに代入するなら
C= 3Z^4/3 + F
を得る。これが求める費用関数。
これより限界費用MC、平均費用AC、平均可変費用AVCはそれぞれ
MC = dC/dZ = 4Z^(1/3)
AC=C/Z=3Z^(1/3) + F/Z
AVC = VC/Z = 3Z^(1/3)
となる。
損益分岐点はACが最小となる生産量において、つまりAC=MCのとき起こるから、
3Z^(1/3) + F/Z = 4Z^(1/3)
Z^(4/3) = F
すなわち、
Z = F^3/4
のとき起こる。
よってそのときの価格PはAC関数へこの値を代入して
P=AC(F^3/4)=3(F^3/4)^(1/3) + F/F^(3/4) = 3F^1/4 + F^1/4 = 4F^1/4
を得る。これが損益分岐価格、つまり、市場価格がこれより高いなら利潤が発生し、低いなら損失が発生する。
計算間違いがあるかもしれないので確かめられたい。質問があれば、追加質問をされたい。

お礼

生産関数は投入量の関数ではなく、生産量の関数で表さないといけないのですね。丁寧なご回答ありがとうございました。

回答No.1

shintaro-2

多分、１，２がおかしいのでは？
＞1.限界生産性の比=価格比だからa=b。よって費用関数は3a+F

費用関数が3a＋Fということは
固定費に原材料費３ａを乗せたものが生産費用になるということですよね？
つまり、固定費を忘れれば線形ということです。
ところが
生産関数はどうみたって線形ではありませんから、固定費を考慮しない場合a+bに比例していないのは明らかです。

>2.限界費用=3、平均費用=3+F/a、平均可変費用=3

１が間違っているのですから、２が間違っているのも明らかです。

＞1.この財の費用最小化問題を解き、費用関数を求めよ。

普通はｚについて微分します。
ですので右辺をｘとｙとで偏微分します。

そうでなかったら、x,yにa,bを代入して費用関数を求め、最小点を探すのでは？

参考URL：

http://www.diamond.co.jp/_itempdf/0201_biz/21051-9.pdf

お礼

ご回答ありがとうございます。