正四面体の最短距離

質問

昨日、高校入試受けてきました。(^^;)　この問題が解けずとても悔しかったです。
答えと解き方が気になってしょうがないので教えてください。

正四面体A-BCDのAB、BCの中点をそれぞれP、Mとする。ACとADを通り点PからMまでひもを引くとき、その最短距離を求めなさい。

図がないと分かりにくいですが、辺ADからMは立体の中を突っ切るような感じになると思います。よろしくおねがいします<(＿ ＿)>

回答No.5

kyouichi-7 · ベストアンサー

Ｂ＿＿＿＿＿＿Ａ＿＿＿Ｐ＿＿＿Ｂ’
　＼　　　　／　＼　　　　　／　＼
　Ｍ＼　　／　　　＼　　　／　　　＼
　　　＼／　　　　　＼　／　　　　　＼
　　　Ｃ￣￣￣￣￣￣￣Ｄ￣￣￣￣￣￣￣Ｃ’

↑こんな感じで展開図のＰとＭを結ぶと
最短距離が求められます。

この図でＢＭ、ＰＢ’を２αとします。
すると正三角形の各辺は４αですね。

では、証明

まず、ＭからＡＢに垂線を下ろし、
その交点をＬとする。
すると、ΔＰＬＢは30度と60度の直角三角形になり
各辺の比率は１：２：√３
　Ｂ＿＿＿Ｌ
　　＼　　│
　　２＼　│√３　　←こんな感じ
　　　　＼│
　　　　　Ｍ

仮定よりＢＭは２αなのでＢＬはαとなる。
すると、ΔＬＭＰの
ＬＰ＝ＢＡＢ’－ＢＭ－ＢＨ
　　＝８α－２α－α
　　＝５α
また、ＬＭ＝√３α
ＭＰをβとすると

　　三平方の定理より
　βの2乗＝（√３α）の2乗＋（５α）の2乗
　　　　＝３とαの2乗＋２５とαの2乗
　　　　＝２８とαの2乗

　　　β＝√２８α

　ゆえにＰＭ＝√２８α　である。

入試、ご苦労様でした。
良き結果をお祈りしています。
（＾＾）

※　図が、ずれてんだよなぁ・・・・
一生懸命に、わかりやすいように書いたのに　　　　　　。。涙

お礼

お忙しい中だったと思います、回答ありがとうございますm(_ _)m
図付きでとっても分かりやすくて助かりました。
立体の中を突っ切ろうとしていたのが問題だったようです＾＾；
正四面体の一辺が４aですよね！ということは・・・一辺１０cmですと５√７になりますね！よかったぁ～。答えをそのまま消さずに書いておいたので丸もらえたと思います。ほっ。本当にありがとうございました。

回答No.7

eatern27

＞点Aにとても近いACとAD上を通って立体の中を通り点Mまで線を引くのが一番近そう
つまり、Ｐから辺AC上と辺AD上の点Aに近い点を通ってMに行くということですか?
点Ａに近い点を通るのと点Aを通るの長さはほぼ同じです。だから、Ａを通っていくと考えると、Ｐ→Ａ→Ｍという順番で通過することになります。つまり、通過距離はＰＡ+ＡＭです。#3さんか#5さんの図を見るとわかると思いますが。
展開図のＰ，Ａ，Ｍを結ぶと三角形ができます。だから、
ＰＭ＜ＰＡ＋ＡＭとなります。

入試が終わってしまったのなら、もう意味ないかもしれませんが、参考までに。
ひもをひいて最短距離
→立体の表面を通って最短距離
→展開図を書いて直線で結ぶ。その線分の長さが最短距離
というのを覚えておきましょう。
問題によっては、「ひもをひく」のかわりに、「立体上を蟻が歩く」と表現している場合もありますが、いずれにせよ、「立体の表面を通る」という意味です。

お礼

分かりました！立体の中は通らないのですね。でも、とりあえず答えは合っていたので本当によかったです！そのまま書いておきました。回答ありがとうございました。

回答No.6

ebinamori

ＰとＭが逆ですね。すみません。
ＰからＭへ辺ＡＣと辺ＡＤ上を通らなければならないのだから立体の中を突っ切りませんよ。
例えば質問文（以後質問文の方に統一します）におけるＭからＡＤの中点Ｎまでの最短距離ならば（他の辺を通らなくてもいいのなら）
これは立体の中を突っ切りますよ。

＞∠DAMは６０°になりません・・・。
このＤＡＭは私の間違った図の方ですかそれとも質問分のほうですか？
私のほうなら間違いなく６０°だし質問文のほうならば９０°です。

質問は答えではなく
なぜ立体の中を通らず展開図の最短距離が最短距離になるのかということですか？
Ｐから辺ＡＤ上の点への最短距離を線で引くと三角形ＡＢＤを通りますよね。
辺ＡＤ上の点から辺ＡＣ上の点への最短距離を線で引くと三角形ＡＣＤ上を通りますよね。
そして辺ＡＣ上の点からＭへの最短距離も三角形ＡＢＣ上を通りますよね。

お礼

分かりました！なぜ立体の中を突っ切ろうと考えていたのか自分でも不思議です・・・(∩_∩)ゞ
図を作ってまで説明してくださり本当にありがとうございました。

　∠DAMは６０°になりません・・・。

あぁ・・・自分、何言ってるんでしょうね。６０°ですね。お気を悪くさせてしまったらすみませんでした。

回答No.4

eatern27

検算して＃3さんのと同じになったの＃3さんのでいいと思います。図も＃3さんのが分かりやすいと思います。(でも、PとMが逆のような・・・)
1辺の長さが10cmなら、求める長さは５√７だと思います。

＞ということは立体の中を通らないということでしょうか
問題では、PからMまでひもをひいています。だから、内部は通りません。

例えば、いま、目の前にパソコンがありますよね？それと、ひもを用意してください。パソコンの裏側からスクリーンの右端まで、ひもでひいてください。ひもは内部を通りますか?通せませんよね?

ただ、一つ問題が・・・
「辺ACと辺ADを通る」という条件をつけると、もし、内部を通っていいことにしても、答えは、５√７になりそう・・・。
あまり深くは考えていないというか、直感ですが・・・。

分からないことがあれば、補足へ。

お礼

あぁ～！！分かりました！なんでわざわざ立体の中突っ切って考えていたんですかねぇ・・・^-^)ゞ
勘違いしていたのにもかかわらず答えは合っていたのでよかったです！！ほっ・・・。
回答ありがとうございました。

回答No.3

ebinamori

展開図を書いてその2点を結めば最短距離になりますね。
丁度正６角形を半分にきった感じになります。
図に書くとうまくかけてるか分かりませんが
　　　Ｄ・・・・・Ｃ
　　・　・　　　・　・Ｐ
　・　　　・　・　　　・
Ｂ・・Ｍ・・Ａ・・・・・Ｂ
一辺を４とすると（計算がめんどくさいから４です）
ＢＭ＝６
ＰＢ＝２
ＰからＡＢへ垂線を引きその交点をＨとする。
∠ＰＢＡ＝６０°よって（これって使っていいんですよね？）
ＢＨ＝１
ＰＨ＝√３
ＭＨ＝５（∵ＭＢ－ＢＨ）
ＭＰ＝ＭＨ＾２＋ＰＨ＾２
　　＝５＾２＋√３＾２
　　＝√２８
　　＝２√７
（一辺をaとすると（√７）a／２）です」

お礼

回答ありがとうございます。
僕もはじめそう考えて、５√７（cm）と書いたのですが、よく考えたら三角形ADMは立体の中を突っ切っているので、∠DAMは６０°になりません・・・。
なんだかよく分からなくなってきてしまいました（＾＾；)

回答No.2

satoshi430

正四面体のACとADを通る（立体の中を通らない）以上、必ずその線は
表面を通ります。面上で線を描くとき、ジグザグに線を引くよりも
直線を引くほうが短くなります。

なので、

PからMまでが、続きの面となるように四面体を展開して、その展開図に
PからMまで直線を引けばそれが最短となります。

具体的には、三角形の頂点が上に来るように展開図を書き、
頂点から時計回りにB-D-B-C-B-A-B（最初の点）という風に
記号を振ります。（このイメージがわかないときは、正四面体を
紙で作りましょう）あとは、PとMを書き込み、線を引けば正四面体の
一辺×２の3分の2になることが分かると思います。

こういう問題は頭で立体が想像できて、展開図までイメージできるか
どうかが鍵となります。だから、わからないときは作ってしまうのが
一番です。受かっていればいいですね!!

お礼

回答ありがとうございます。

＜正四面体のACとADを通る（立体の中を通らない）以上、必ずその線は表面を通ります。

ということは立体の中を通らないということでしょうか(・・?)
点Aにとても近いACとAD上を通って立体の中を通り点Mまで線を引くのが一番近そう
だと思ったのですが・・・。

＜正四面体の一辺×２の3分の2になる

正四面体の一辺の長さを書き忘れていました＾＾；　一辺は１０cmです。
１０*４/３＝４０/３（cm）
ということでしょうか？展開図を書いてみましたがよく分かりませんでした(× ×)。。。
できればもう少し詳しく教えてくださいm(_ _)m

回答No.1

kyouichi-7

今、ちょっと時間がないので、
解き方の『ヒント』だけ。　笑

正四面体を『展開図』にして、
各頂点に記号をふって、
考えてみると、とてもわかりやすくなります。

お礼

展開図を書いて色々考えてみたのですが、分かりませんでした・・・（⌒～⌒；A
ん～・・・もうちょっと考えてみます。回答ありがとうございました。