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お礼率 90% (784/867)

もうすぐ期末考査があるというのに全然数学が分かりません(数学だけじゃないけど・・・。)
そこで、お聞きしたいのですが
円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3、BC=5,DA=8
角ABC=120°であるときAC,CDの長さを求めよ。

ほんとに分からないんです。
どなたか教えて下さい。
途中式もかいていただければ幸いです。
どうか宜しくお願いします。
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質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

△ABC で,辺AB,辺BC ,∠ABC がわかっているのですから,
余弦定理ほとんどそのままでしょう.
(AC)^2 = AB^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC)(cos 120゜)

四角形 ABCD が円に内接するのですから,∠ADC = 180゜- ∠ABC = 60゜
(AC)^2 = (AD)^2 + (CD)^2 - 2(AD)(CD)(cos 60゜)
ですから,CD に対する2次方程式を解けばよいわけです.
お礼コメント
MAEAKI

お礼率 90% (784/867)

回答ありがとうございます。
一個目の答えは分かったのですが二個目の答えがほんとに分かりません。
回答頂いたAC^2とかってどこがACなのかがわかりません
ほんとにバカで申し訳ありません。
四角形のどこから順にABCDを付けているのでしょうか?
教えて下さい。お願いします。
投稿日時 - 2002-02-24 21:46:56
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.2
レベル8

ベストアンサー率 25% (9/35)

三角形の2辺とその夾角が分かれば、もう1辺の長さが分かります。 (この公式は、あまりにも基本ですから自分で調べて下さい。) 従って、ACの長さは簡単に算出されます。 今度は、CDの長さですが、これも同じ公式から簡単に出てきます。 三角形ACDの中で式をいれてみてください。 但し角度がわからないですか? これが、この問題のミソで、円に内接する四角形ですから ∠ABCの反対である∠ADCは180 ...続きを読む
三角形の2辺とその夾角が分かれば、もう1辺の長さが分かります。
(この公式は、あまりにも基本ですから自分で調べて下さい。)
従って、ACの長さは簡単に算出されます。
今度は、CDの長さですが、これも同じ公式から簡単に出てきます。
三角形ACDの中で式をいれてみてください。
但し角度がわからないですか?
これが、この問題のミソで、円に内接する四角形ですから
∠ABCの反対である∠ADCは180-120=60°になりますよね。
以上でできます。
途中式も書いて欲しいとありましたが、そこまで書いたらMAEAKIさんのためにならないので..

頑張って下さい。
お礼コメント
MAEAKI

お礼率 90% (784/867)

一個目の答えは分かったのですが二個目の答えが分かりません。
一個目の答えは7になりますよね?
そこから次、どうしたらいいのか分からないのですが・・・。三角形ACDのなかでいれるっていうのは
a=A、b=D、c=Cと考えて良いんでしょうか?
教えて下さい。お願いします。
投稿日時 - 2002-02-24 21:50:02


  • 回答No.3
レベル8

ベストアンサー率 25% (9/35)

再度、お答えさせて頂きます。 まず、自分のノートに大きく円を書いて下さい。 次に、その円に内接する四角形を書いて下さい。ここまでよろしいですね。(内接と外接は分かりますね) 次に、四角形の頂点にどこからでも良いですから、左廻りにABCDと付けていって下さい。当然、Aの反対側はCにBの反対側はDになりますね。 次にAとCを結んで下さい。 このときにAとBとCの三点で構成される角度が ∠ABCと書 ...続きを読む
再度、お答えさせて頂きます。
まず、自分のノートに大きく円を書いて下さい。
次に、その円に内接する四角形を書いて下さい。ここまでよろしいですね。(内接と外接は分かりますね)
次に、四角形の頂点にどこからでも良いですから、左廻りにABCDと付けていって下さい。当然、Aの反対側はCにBの反対側はDになりますね。
次にAとCを結んで下さい。
このときにAとBとCの三点で構成される角度が
∠ABCと書き、120°なのでよね。
この三角形の中の中で、余弦定理が成り立ちます。
(AC)^2 = AB^2 + (BC)^2 - 2(AB)(BC)(cos 120゜)
ここまで良いですか?
これは、教科書参考書に載ってます!

ちなみに、
これによると
ACは9+25+2*3*5*0.5=19のルートですから、7になります

今度は、三角形ACDの中で
(AC)^2 = AD^2 + (CD)^2 - 2(AD)(CD)(cos 60゜)
となり、
49=64+(CD)^2-2*8*CD*0.5
を解けばよいのです。
これを解くと。
CD=3,5になります。
2個、解が出てしまったけど、考え方は良いと思います。
僕もあとでゆっくりやってみます。
答えが違ってたらごめんなさい。

考え方を見て下さい。
お礼コメント
MAEAKI

お礼率 90% (784/867)

はぁ二次方程式をつかうんですね。
すごい・・・。
わかりましたありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-25 12:21:25
  • 回答No.4
レベル13

ベストアンサー率 64% (700/1089)

> 一個目の答えは分かったのですが二個目の答えがほんとに分かりません。 > 一個目の答えは7になりますよね? > どこがACなのかがわかりません あれ?一個目の AC の答が7なんだから AC はわかったんじゃ? 四角形の頂点は順に付けるのが普通です. 時計回りか反時計回りかは,両方あるみたいです. いずれにしろ,AC は対角線ですね. > 三角形ACDの ...続きを読む
> 一個目の答えは分かったのですが二個目の答えがほんとに分かりません。
> 一個目の答えは7になりますよね?
> どこがACなのかがわかりません
あれ?一個目の AC の答が7なんだから AC はわかったんじゃ?

四角形の頂点は順に付けるのが普通です.
時計回りか反時計回りかは,両方あるみたいです.
いずれにしろ,AC は対角線ですね.

> 三角形ACDのなかでいれるっていうのは
それが私の書きました
(AC)^2 = (AD)^2 + (CD)^2 - 2(AD)(CD)(cos 60゜)
です.
AC は一個目でわかったし,AD は8と与えられているから...

回答を送ろうと思ったら sevasu さんの2回目の回答が出ていました.
答は私と同じです.
A 点から長さ8で円周上の点というのは2箇所あるわけで(左右対称),
その2点が2つの答に対応しています.
場合によってはどちらかが不適なこともありますが,
今の場合はどちらも大丈夫なようですね.
お礼コメント
MAEAKI

お礼率 90% (784/867)

そういうことですか・・・。
バカで申し訳ありません。
どうもありがとうございました。
投稿日時 - 2002-02-25 12:22:44
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