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余弦定理を用いた問題

こんばんは。いつもお世話になっております。 問題集を解いていてどうしてもわからない問題があるので、解き方・考え方を教えてください。 問題1) 四角形ABCDが、半径64/8の円に内接している。この四角形の周の長さが44で、辺BC=辺CD=13であるとき、残りの2辺ABとDAの長さを求めよ。 自分なりに考えてみたのですが、ABとDAに関する方程式を2つ立てて連立させるのかと思ったのですが、AB+DA=18しか思いつきません。半径64/8の円に内接していることから、正弦定理を使おうと思っても角の大きさが一つも分かっていないため使うことができません。。 問題2)四角形ABCD(問題1とは別)において、BC=2,CD=3,∠DAB=60度(π/3),∠ABC=∠CDA=90度(π/2)とする。このとき、辺AB,辺DAの長さを求めよ。 この問題は、対角線ACを引き、2つできる直角三角形について三平方の定理でAC^2=の形にして、2つを連立させて整理すると、AD^2=AB^2+1という式が出てくるのですが、この式を解くにはもうひとつ式が必要です。どうやって出せばいいのでしょうか? 両方ともおそらく余弦定理や正弦定理を使うのかと思うのですが、どちらも適用できません。。もう2時間近く粘っていますがいっこうに解けません。どうかお力をお貸しください。よろしくお願いいたします。

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  • debut
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回答No.5

再び。 AD^2=AB^2+1を確認せずにいましたが、AB^2+2^2=AD^2+3^2 なので、AD^2=AB^2-5ですね。 すると、余弦定理で、 19=AB^2+{√(AB^2-5)}^2-AB*√(AB^2-5) 整理すれば、 2AB^2-AB*√(AB^2-5)-24=0となります。 この方程式は AB*√(AB^2-5)を移項して両辺を2乗して4次方程式にして 解きます。 2AB^2-24=AB*√(AB^2-5)・・・☆ 両辺を2乗して、 4AB^4-96AB^2+576=AB^2(AB^2-5) AB^2をXとでもおけば2次方程式になります。 たすきがけの因数分解になります。 ただし、☆の式で右辺は正ですから、2AB^2-24>0 つまり、AB^2>12となることに注意してください。

tomotomo2309jp
質問者

お礼

何度も何度もご回答くださり、本当にありがとうございます! 何とか解けました。最後に、答えを確認していただけないでしょうか?答えがないもので計算間違いが心配です。。 4AB^4-96AB^2+576=AB^2(AB^2-5) から記述します。 AB^2=Xとおく。 4X^2-96X+576=X^2-5X 3X^2-91X+576=0 解の公式より、(←たすきがけの組み合わせが見つかりませんでした。) X={91±√(91^2-4*3*576)}/6 X=64/3, 9 AB^2>12より、X>12である。よって、X=9は不適である。 X=64/3 AB^2=64/3 AB>0なので、 AB=8√(3)/3 AD^2=AB^2-5より、 AD^2=64/3-5 AD^2=49/3 AD>0なので、 AD=7√(3)/3 これであっておりますでしょうか?

tomotomo2309jp
質問者

補足

お礼の補足です。 先ほど三角形ABDに余弦定理を適用してみれば検算できることに気がつき、やってみたところ、見事BD^2=19となり成り立ちました。 このたびは何度も私の質問にお答えくださり、本当にありがとうございました。今回の質問で、余弦定理の使い方がより身についた気がします。 このたびは本当にありがとうございました!!

その他の回答 (4)

  • debut
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回答No.4

No2です。 半径が65/8ならば、No2で説明したcos(∠OC B)は4/5と なります。 このcosの値は、直角三角形OC Hを考えたとき、OC =65/8 C H=13/2なので、cosの基本的な見方(底辺/斜辺)から cos(∠OC H)=C H/OC =(13/2)/(65/8)=4/5 ∠OC Hと∠OC Bは同じ部分ですから、cos(∠OC B) =4/5となります。 すると、倍角の公式から、cos(∠BC D)=2×(4/5)^2-1 =7/25。 △BC Dで余弦定理を適用して、BD^2=・・・=(78/5)^2。 cos(∠BAD)=-cos(∠BC D)なので、△ABDに余弦定理 を適用して(AB=x、AD=18-xとして)最終的には x^2-18x+56=0になりました。 問題2の方は、∠C=120°なので、△BCDに余弦定理を 適用すれば、BD^2=19です。 あとは、あなたが導いたAD^2=AB^2+1から、AB=xとすれば、 AD=√(x^2+1)で、△ABDで余弦定理を適用して求められる と思います。

tomotomo2309jp
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 問題1のほうは、教えていただいた通りにやったら見事に解くことができました!本当にありがとうございます。 問題2なのですが、三角形ABDにおける余弦定理にAD=√(AB^2+1)を代入すると、 19=AB^2+{√(AB^2+1)}^2-AB*√(AB^2+1)となり、整理すると、 2AB^2-AB√(AB^2+1)-18=0 となってしまい、これ以上解くことができなくなってしまいました。。 この2次方程式を解くにはどうすればいいのでしょうか? 何度も質問してしまって申し訳ありません。よろしくお願いします。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

問題2 については #1 の通りでいけると思うんですが, 問題1 はうまくないですね. 四角形が円に内接することから対角の和がπになるので, 正弦定理や余弦定理を駆使すれば式は立ちます. 解きたいとは思いませんが....

  • debut
  • ベストアンサー率56% (913/1604)
回答No.2

問題1  円の中心をOとすると、△O BCと△O DCは合同な  二等辺三角形です。  OからBC に垂線OHを引いて直角三角形O HCを  みれば、OC =64/8(ところで、なぜ8としないのですか?)  C H=13/2なので、cos(∠O C B)=13/16  ∠O C B=∠O C Dなので、cos(∠B C D)=cos2*(∠O C B)  で、倍角の公式cos2θ=2cos^2θ-1から  cos(∠BC D)=41/128  よって、△BC Dで余弦定理からBD^2=338-338*(41/128)  一方、cos(∠BAD)=cos(180°-∠BC D)=-cos(∠BC D)  なので、△ABDで余弦定理から・・・  とやってみたら、29x^2-522x+2011=0などというとんでもない  2次方程式になってしまいました。解いてみると大雑把に  x(ABかAD)は12.4と5.6と出ましたが・・  どうなんでしょ?電卓なしではできません。あるいは計算違い  かもしれませんが・・

tomotomo2309jp
質問者

補足

ご回答ありがとうございます。 申し訳ありません。問題文に間違いがありました。 円の半径、正しくは65/8です。 また、問題2の四角形ABCDは円に内接しておりません。まったく別の問題です。説明不足で申し訳ありません。 ご回答についてですが、5行目のcos(OCB)=13/16となるところが分かりません。OCとCHがわかっているで三平方の定理より、 OH^2+CH^2=OC^2となり、計算したところOF={√(87)}/2 と出てきました。 この状態で三角形OHCに余弦定理を適用しても13/16という値は出てきませんでした。また、問題文に出てきている「周の長さが44」という情報もきっと使わなければならないと思います。申し訳ありませんが、ほかの方法はないでしょうか?

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.1

どちらも同じですが, 辺BD を考えてみてください.

tomotomo2309jp
質問者

お礼

ご回答ありがとうございます。 BDですか.. もう少し考えてみます。

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