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三角比の問題です

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  • 質問No.204869
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お礼率 71% (57/80)

センター対策をしていたらちょっと詰まった問題があったのでよろしくお願いします。(2)で詰まってしまいました。

円に内接する四角形ABCDがあり、AB=5,BC=8、∠ABC=60°、CD=DAである。

                   7√3
(1)AC=7であり、CD=DA=-----(3分の7ルート3) である
                    3

(2)cos∠DABを求めよ

答えは  3√3
  - -----  (マイナス14分の3ルート3)です
      14
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  • 回答No.3
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

∠ABD=∠ACD=30度(△ADCは頂角120度の二等辺三角形ですよね?)だから、
∠DAB=150度-∠ADBです。これを求める式に代入。
とりあえずこの問題に取り組むときに△ABDに注目しているはずで、2辺と1対角がわかっていれば正弦定理→2つめの角度の情報もわかる→残りは内角和から考える、と思考の流れをつかめば、決して奇抜な解法ではないと思います。

ちなみに、sin∠ADBからcos∠ADBを求めるときに、これが鋭角であることを示す必要が(記述式ならば)あると思います。(cosの符号確定のため)これはざっくりいうと∠ACBが120度未満であること(△ABCの内角和より)、sin∠ADBが(√3)/2より小さいことから、60度未満であることが言えます。(△BADだけに注目すると、sin∠ADB<(√3)/2だけでは、120度<∠ADB<150度の可能性が消えないので、円周角で∠ACBに移して考えました。)。。。こんな面倒くさいことする必要あるんかいのぉ?

#別解は、学生時代もっぱら中学生ばかり教えていたのでこんな解法になってしまったんですが。(笑)ちなみに、もうひとつ中学生的な考えから別解。

(別解2)BAとCDを延長し、交点をPとすると、△PAD∽△PCBで相似比はAD:BCから既知の値となる。ここからPAとPDの長さを文字でおいて、方程式で解ける。(ここまで中学生。円は相似がいっぱい出現!)
すると、△PADは3辺とも長さが出せたので、あとは余弦定理で。

なんかいろんな解法を考える趣味の問題になってしまいました。すんません(汗)
お礼コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

補足のことに早速答えてくれありがとうございます。
別解も何とかわかりました。
親切なアドバイスありがとうございました。
投稿日時 - 2002-01-25 16:24:22
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その他の回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

△DABについてわかっている情報から求められそうなところを考えると、 正弦定理でsin∠ADBが求められます。ということはcos∠ADBも求められます。 cos∠DABを∠ADBを用いて加法定理を使えば終わります。 別解。点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。 △DBHは三角定規で、DH=xとすれば、△DAHで三平方の定理でxが求められ、 図形的にcos∠DABが求められます。 ...続きを読む
△DABについてわかっている情報から求められそうなところを考えると、
正弦定理でsin∠ADBが求められます。ということはcos∠ADBも求められます。
cos∠DABを∠ADBを用いて加法定理を使えば終わります。

別解。点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。
△DBHは三角定規で、DH=xとすれば、△DAHで三平方の定理でxが求められ、
図形的にcos∠DABが求められます。
補足コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

早速のアドバイスありがとうございます。すいません。どうやって加法定理に持ち込むか教えてくれるとありがたいのですが…。
投稿日時 - 2002-01-24 23:21:35
  • 回答No.2
レベル10

ベストアンサー率 22% (55/245)

円の中心をOとする。 点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。 点OからBCに垂線をおろしてその足をIとする。 ∠OBC=xとすると、 ∠DAH=60°+xとなります。 加法定理では、 cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b) ですから、 cos(60°+x)=cos(60°)*cos(x)-sin(60°)*sin(x) となります。 ...続きを読む
円の中心をOとする。
点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。
点OからBCに垂線をおろしてその足をIとする。
∠OBC=xとすると、
∠DAH=60°+xとなります。
加法定理では、
cos(a+b)=cos(a)*cos(b)-sin(a)*sin(b)
ですから、
cos(60°+x)=cos(60°)*cos(x)-sin(60°)*sin(x)
となります。
三角形OBIを考えると、
三平方の定理により、OIが求められます。
よって、cos(x)とsin(x)がわかります。
あとは間違わないように計算するだけです。
お礼コメント
dh6

お礼率 71% (57/80)

ふむふむ。よく解りました。
ありがとうございました。
投稿日時 - 2002-01-25 16:25:56
  • 回答No.4
レベル11

ベストアンサー率 36% (175/474)

3度すみません。(^^;) cos∠ADBって、∠ACBにうつして△ABCで余弦定理で一発ですね。(笑)
3度すみません。(^^;)
cos∠ADBって、∠ACBにうつして△ABCで余弦定理で一発ですね。(笑)
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