ミクロ経済学の効用の問題

質問

公務員試験ミクロ経済学の期待効用についての問題です。どなたか知恵をお貸しください。

「所得のすべてを宝くじに投資するか、投資せずに保持するかのどちらかを選択する個人がいるとする。この個人は1万円の所得を持ち、所得xに対する効用関数が、
u＝x^2（u：効用水準）
で示される場合、1%の確率で賞金が当たる宝くじについて、賞金がいくら以上であれば個人は宝くじに投資するか。賞金の最小額として正しいものはどれか。なお、この個人は期待効用を最大化するものとする。」

という問題で、答えは10万円なのですが、どうしてそうなるのかが分かりません。

0.01の確率でくじが当たり、1の確率で所得10000円なら、
0.01x^2≧10000となり
x^2≧1000000
x≧1000

となるのではないですか？
式が間違っているのか計算ミスをしているのか、どこか間違っているのか分かりません。
どなたか解き方を詳しくお教え頂けないでしょうか。

回答No.5

statecollege · ベストアンサー

回答４でも、まだ納得いかないのでしょうか？？あなたの計算ミスは、2乗したとき、あるいは両辺に１００を掛けたときの、桁の間違いですが、どこが間違っているか、まだ得心がいかない、ということでしょうか？

もう一度書くと、いま、くじの賞金をｘ万円とすると、くじに投資したときの期待効用と1万円を投資しないで、保持したときの期待効用を比較し、前者のほうが後者よりま大きい（か等しい）ためには

　　　0.01x^2 ≧1^1 = 1

両辺に100を掛けると
　　　x^2 ≧１００

　　　x ≧√１００ = 10

数字の単位は万円だから、答えは賞金は10万円以上であればよい。　なお、賞金がちょうど10万円のときは、1万円をくじに投資しても、投資しないで保持しても、期待効用は等しいので、投資するか、しないかはこの個人にとって無差別である。

　今度は、くじの賞金をｘ円としてみましょう。このときは、上の不等式は

　　0.01x^2 ≧ 10,000^2 =10,000×10,000

両辺に100を掛けると

　　x^2 ≧ 100×10,000×10,000 = 10×10×10,000×10,000 = 100,000×100,000 = 100,000^2

よって

　　x ≧100,000

くじの賞金は100,000円（10万円）以上であればよい。

これ以上わかりやすくすることは私にはできませんが、まだ納得できないなら、その点を「補足質問」欄で質問してください！

お礼

ご回答頂きありがとうございます。何度も申し訳ありません。

回答No.7

statecollege

この質問の回答に納得し、問題が解決したのなら、この質問を速やかに閉じてくださいよ。いつまでも開けておくのは、問題がいまだ解決していないことを意味するのです！
公務員試験問題で解けないのがほかにもあったら、あらためて質問してください。答えますよ。

お礼

ご助言ありがとうございます。今回は本当に助かりました。
ご教授頂きありがとうございました。
また何かありましたらよろしくお願いします。

回答No.6

statecollege

訂正。回答５の第1式

0.01x^2 ≧1^1 = 1

⇒
0.01x^2 ≧1^2 = 1

と訂正してください。１の2乗です。

お礼

ありがとうございます。助かります。

回答No.4

statecollege

回答３のように、くじの賞金を（ｘ円ではなく）ｘ万円とおくなら分かりやすかったでしょう。納得していただけたのでしょうか？

ちなみに、あなたが補足質問で示している（円単位の）計算をもう一度見てみましょう。

＞ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりすみません。

0.01x^2 ≧10000^2

の式ですが、100倍して

x^2 ≧1000000^2

まず、数字の桁が大きくなるときは、千、百万、十億、・・・の位でコンマをいれていくのが常識。あなたのようにコンマをいれないと混乱する。

0.01x＾2　≧ 10,000^2

x^2 ≧100×10,000×10,000 = 100,000×100,000 = 100,000^2

x ≧100,000

と、くじの賞金がｘ円としても、答えは100,000円(１０万円）と出る。あなたの答えの不等式の右辺は０が一つ多く、百万の2乗になっているので間違いです！

今度は納得できたのか示してください。

お礼

ご回答ありがとうございます。
二乗の桁が間違っていたことに気が付きました。
自身の補足で「1000000の二乗」と書きましたがここが違ってるんですね。

右辺に関して、10,000を100倍し、それに10,000をかけて、x^2 ≧10,000,000,000。
0が10個なのでその半分の0が5個、x ≧100,000ということですよね。

とりあえずはこんな感じで当たっていますでしょうか。
本当に数学が苦手なのものでお手数をおかけしました。

回答No.3

statecollege

0がいくつもついて混乱するというのなら、円単位ではなく、万円単位で解けばよいではないか？そのぐらいの融通はきくでしょう？万円単位で書けば

　　　0.01x^2 ≧1＾2 = 1

よって

　　　 x^2 ≧ 100

　　 x ≧　√１００ = 10

つまり、10万円以上であればよい。

お礼

別解ありがとうございます。なかなかネットが使えずお礼遅くなってしまいすみません。
1万とするやり方もありますね。
こちらの方が計算は早いですね。

回答No.2

statecollege

まだ納得していない？納得していないのなら、どこが納得がいかないのか？補足質問欄をつかって質問してください。あなたの質問は回答者への「丸投げ」でなく、ちゃんと自分で解いたうえでの質問だったので、ほかの質問者とはちがってるだろうとは思っているのですが。。このごろは、せっかく回答しても放置しておく人が多くて、うんざりしているのです。

お礼

ありがとうございます。NO1の補足欄に書かせて頂きました。よろしければご教授頂けると嬉しいです。

回答No.1

statecollege

所得をくじに投資し、くじが当たったときの期待効用とくじを買わないで所得10,000円を保持したときの期待効用を比較するのです。つまり、

0.01x^2 ≧10,000＾２

ｘ≧100,000

と正しい答えが得られます。
あなたの計算はくじから得られる期待効用とくじを買わないときの（期待効用ではなく）所得を比較しているので、正しい答えが得られないのです。

補足

ご回答ありがとうございます。お礼が遅くなりすみません。

0.01x^2 ≧10000^2

の式ですが、100倍して

x^2 ≧1000000^2

…としたのはいいのですがここから先の計算がうまくできなくて…
1000000の二乗だとかなり大きな数字になってしまい…
どうしてもx≧100000になりません。
両辺の二乗をなくせばいいのですよね…？

すみません、数学がどうにも苦手で…
どうかお教え頂けると嬉しいです。お手数をおかけしてすみません。