ミクロ経済についての質問です。

質問

ミクロ経済学について質問です。
教科書の問題を解いていて途中式が分からないので質問させていただきます。
以下問題文です。

効用関数がＵ＝x1x2で予算制約式がx1＋x2=12の時、財1,2に対する最適な消費水準x1,x2を求めよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

statecollege

・indigobluetさんへ。私の知っている経済学専攻の学生のほとんどは高校時代の数学の知識が十分でなく、微積分など勉強しないで大学へ入ってしまった人が大部分です。ですから、遍微分、最適化のラグランジェ乗数法などといってもチンプンカンプンでしょう。この質問者も、消費選択のこんな基本的な問題―ミクロ経済学の教科書のどこにでも書いてあるーがわからないといっているのですから、同類でしょう。
・質問者へ。微分についての知識はあるのでしょうか？あるのだったら、indigobluetさんの解答あるいはOKwaveの過去問・回答「合わせてチェック」に同様の質問・回答があるので、それで理解できるはずです。

もし微分をしらないなら、裏技を１つ。これは解答だけを書くか、解答が選択肢として与えられている場合にしか適用できませんが、解だけを求めるのは簡単です。ｘ１とｘ２は効用関数と予算制約にまったく対称的（symmetric)にはいっている―ｘ１とｘ２を交換しても全く変わらない―ことに注目すると、最適解はx1=x2となるはずだと予想できる。よって、x1=x2=xとおき、予算制約に代入すると　ｘ＋ｘ＝１２⇒２ｘ＝１２⇒ｘ＝６、すなわち、ｘ１＝ｘ２＝６となる。これが最適解です。

もう一つ、微分を使わない方法。予算制約をｘ２について解き、ｘ２＝１２－ｘ１とし、これを効用関数に代入する。
すると、
　　　U = x1(12-x1) = -x1^2 + 12x1
を得る。右辺はｘ１についての２次式、これを平方完成すると、
　　　U =-(x１-6)^2 +36
を得る。よってｘ１＝６のときUは最大値をとる。もちろんｘ１＝６が分かれば、これを予算式に代入しｘ２＝６を直ちに得る。効用関数がU=x1x2の形であれば、この平方完成の方法はｐ１とｐ２が両方とも１でなくても適用可能であることはむろんです。
なお、平方完成とはｙ＝ax^2 + bx + c = a(x + b/2a)^2 - (b^2-4ac)/4aと変形することをいい、高校の数１で学んでいるはずです。

回答No.1

indigobluet

二変数関数の条件付き最大化問題はラグランジュ未定乗数法を使うのが定石。
つまりf(x1,x2,λ)=x1x2-λ(x1+x2-12)のx1,x2,λについての偏微分が全て0となるようなx1,x2の組だから、
∂f/∂x1=x2-λ=0、∂f/∂x2=x1-λ=0、∂f/∂λ=x1+x2-12=0より、
λ=x1=x2=6を得る。

ただこの問題は式が簡単だから、単純にx2=12-x1としてU=x1x2に代入し、
U=12x1-x1^2の極地を求めて12-2x1=0からx1=6,x2=6を求めた方が速いと思う。