ミクロ経済学

質問

よろしければご教授ください。
ミクロ経済学の効用関数の問題です。
消費者Aは3つの財x,y,zの消費量(x,y,z ≧0)に対して選好を持っている。その選好を表現するであろう効用関数の候補が

u1(x,y,z)＝1/3logx + logz
u2(x,y,z)＝min{x+y , z}

で与えられるとする。3つの財の価格と所得は正の実数のみをとり、いまx,y,zの価格は(px,py,pz)＝(1,2,3)、所得は20であったとする。

1) 消費者Aの選好がu1で表現される時の、最適消費量(x *,y *,z *)を求めなさい
2) 消費者Aの選好がu2で表現される時の、最適消費量(x **,y **,z **)を求めなさい
3)u1とu2は同じ選好を表現しているか否か、理由とともに答えなさい
4)消費者Aの選好はu2で表現されることがわかった。消費者Bの選好が1/2u2で表現される時、消費者Aと消費者Bは同じ選好を持っていると言えるか否かを理由とともに答えなさい。

よろしくお願いします。

回答No.1

statecollege · ベストアンサー

財の数が３つで、教科書等で学ぶ、通常の2財のモデルと異なっているので戸惑っているかもしれませんが、問題をよく見ると、2財モデルと変わらないことに注意。
u1の右辺には財ｙが入っていないので、この消費者にとってｙ財の消費は無価値（効用を生まないことがわかる）ので、ｙ＝０とおいて、あたかもｙ財が存在しないと考えて、最適消費量を求めてよい。
u2に右辺には、y財ははいっているが、ｘを消費するのもｙ財を消費するのもこの消費者にとっては同じ。つまり、ｘとｙは完全補完財。しかし、ｙ財の価格はｘ財の価格の2倍。よって、最適消費を求めるためには、ｙではなくｘを消費すればよい。つまりあたかもｙは存在しないかのように、解けばよい。
つまり、１）は
max (1/3)logx+logz
s.t.
x + 3y = 20

2)は
max min{x, z}
s.t.
x + 3y = 20
を解けばよい。これらは教科書にある標準的効用最大化問題だ。解いてみてください。問題があったら、追加質問をされたい。

補足

回答ありがとうございます。
質問があります。
ｘを消費するのもｙ財を消費するのもこの消費者にとっては同じ。ということは、x財とy財は完全補完ではなく完全代替の関係にあるのではないですか？

回答No.3

statecollege

>ｘを消費するのもｙ財を消費するのもこの消費者にとっては同じ。ということは、x財とy財は完全補完ではなく完全代替の関係にあるのではないですか？

おっしゃる通り、この消費者にとってｘとｙは完全補完財ではなく、完全代替財です。したがって、ｘ財とｙ財に価格差があると、価格が低いほうが消費（需要）されることになる。

お礼

解答いただきありがとうございます。
助かりました。

回答No.2

statecollege

訂正。NO1の１）と２）の部分は以下のように直してください。

＞つまり、１）は
max (1/3)logx+logz
s.t.
x + 3z = 20

2)は
max min{x, z}
s.t.
x + 3z = 20
を解けばよい。これらは教科書にある標準的効用最大化問題だ。解いてみてください。問題があったら、追加質問をされたい。

お礼

すみません。
追加で質問があります。
今更なんですが、
u2(x,y,z)＝min{x +y,z｝
で、消費者Aにとって、xとyが完全代替の関係にあるのはなぜですか？