2階斉次線形微分方程式の基本解と一般解のズレ

質問

次の微分方程式の一般解を求めよ。

(d^2 y)/(dx^2) + (1/x) (dy/dx) - 1/(x^2) y = 0

練習問題3.2(3)の解答より

　　　　　y1 = x

が基本解の一つ。

　　　　　exp (-∫P(x')dx')
　　　　　= exp(-∫1/x' dx')
　　　　　= exp(-log x)
　　　　　= 1/x

であるから、もう一つの基本解は

　　　　　y2 = x∫1/x^3 dx
　　　　　　　= x(-1/(2x^2)
　　　　　　　= -1/2x

したがって、一般解は

　　　　　y = c1 * x + c2 * 1/x

・・・という問題なのですが、基本解（-1/2x）と一般解（1/x）にズレがあるように思えます。
私の計算も上のようになりましたが、それならば一般解は
　　　　　y = c1 * x + c2 * -1/2x
になるべきではないですか？
その前の例題などでは、導き出したy2の値をそのまま一般解に使用しています。
というか、-1/2xを使用しないのなら、なぜわざわざ計算しているのですか？？？

ちなみに、練習問題3.2(3)では、
　　　　　P(x) = 1/x, Q(x) = -1/(x^2)
を
　　　　　m(m-1) + mx * P(x) + x^2 * Q(x) = 0
にあてはめて
　　　　　m(m-1) + m - 1 = 0
　　　　　m^2 - 1 = 0
　　　　　(m-1)(m+1) = 0
したがって、
　　　　　y = x
と
　　　　　y = x^-1
　　　　　　= 1/x
が基本解のうちの2つである、となっています。
この時点で、もう一つの基本解は1/xであると分かっているんですよね・・・。
ですから、本の解答の
　　　　　y = c1 * x + c2 * 1/x
は合っているのだと推測します。
ただ、それなら-1/2xという数字が何なのか分かりません。
疑問だらけです。教えてください。お願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

線形方程式の基本解は定数倍の違いは無視する．

それが線形方程式の解の特徴です．だから

c_2(1/x)も(-c_2/2)(1/x)

も同じとみなすのです．後者の-c_2/2を改めてc_2とおけば前者と同じ形になります．

お礼

なるほど、そういうことですか。
xに関係しない限りc_2で吸収してしまってもいいんですね。
その後の問題も勝手にマイナスをプラスにしていたりして不思議に思っていました。
これで解決です。すっきりしました。
ありがとうございました！

回答No.2

f272

一般解が
y = c1 * x + c2 * -1/2x　　　　(A)
であろうと
y = c1 * x + c2 * 1/x (B)
であろうと，(A)の-(1/2)c2をあらためてc2と書けば同じでしょ。c2は任意定数なんだから，もともと定数倍の違いなど問題にならない。基本解は-1/(2x)でもよいし，1/xでもよい。

お礼

ああ、そうですね、気付きませんでした。
ということは、基本解は3π*e^120/xでもなんでもいいんですね。
この本の解説にそう一言書いてあればよかったんですけどね。
ありがとうございました！