１階線形微分方程式の問題です。

質問

自分の持ってる参考書（サイエンス社の基本微分積分）の

dy/dx+ycosx=sinxcosx

を解けという問題についてです。
解説で
y = exp(-∫cosx dx){∫sinxcosx exp(∫cosx dx)dx+C}
= exp(-sinx){∫sinxcosx exp(sinx)dx+C}
と書かれているところがあります。上の式になるのは一般解の式に代入する形でそのようになるのはわかるのですが、そのあと下の式にどうしてなるのかがわかりません。
自分的には
下の式=exp(-sinx + C1){∫sinxcosx exp(sinx + C2)dx+C}
というようにC1やC2といった積分定数が出てくるのではないかと思うのですが、どうして参考書には積分定数がないのでしょうか?

ちなみに、この問題の答えは
y = sinx - 1 + Cexp(-sinx) (Cは積分定数)
となっています。

回答No.2

rabbit_cat · ベストアンサー

C1 = -C2
だからです。
もともとの１次線形微分方程式の公式（とその導出）を確認してください。
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/diffpub/node13.html
で言えば、１次線形微分方程式
y' + P(x)*y = Q(x)
は積分因子μ(x) = exp(∫P(x)dx) ていう一つの関数を使って、
y*μ(x) = ∫Q(x)*μ(x)dx + C
てかけるってのが出発点です。左辺のμ(x)と、右辺のμ(x)は、（積分定数を含めて）同じ関数です。

お礼

返事おそくなりました。
やっとわかりました。
わざわざ参考になるURLまで乗せていただきありがとうございます。
本当にありがとうございました。

回答No.1

Willyt

Ｃ１とＣ２を含む項は積分すると定数になってしまいますね。だから結局Ｃに吸収されてしまうでしょう？

補足

早速回答ありがとうございます。
すみません。まだわかりません。
下の式=exp(-sinx + C1){∫sinxcosx exp(sinx + C2)dx+C}
=A1 * exp(-sinx){A2∫sinxcosx exp(sinx)dx+C}…(1)
(logA1=C1 , logA2=C2)

∫sinxcosx exp(sinx)dxはsinx=tとおくとcosx dx= dtなので、
=∫texp(t) dt = texp(t) + C3 - ∫exp(t) dt
=(t-1)exp(t) + C4

これを(1)式に代入すると
A1 * exp(-sinx)[A2{(t-1)exp(t) + C4}+C]
=A1 * exp(-sinx)[A2{(t-1)exp(t)}+C5]
=C7(sinx-1)+C8exp(-sinx)
となってしまい、答えの
y = sinx - 1 + Cexp(-sinx)
とは違うかたちになってしまうのですが、どこがおかしいのでしょうか？
（A1、A2、C、C1～C8はすべて積分定数です。）
理解力がなくてすみません。