微分方程式

質問

第1問

dy 　　y~2-x~2
--=--------- (ヒントz=y/xと置換しなさい）
dx 　　 2xy

第2問
一階線形微分方程式　

dy
--+ycosx=sinx×cosx---(1)がある
dx

1、この方程式の同次の微分方程式を解きなさい

2、定数変化法により、この微分方程式(1)の特解を求めなさい。
また、その時の一般解を求めなさい

回答No.6

mmky · ベストアンサー

No.5の続き
dy/dx +ycosx=sinxcosx---(1)
y={sinx-1+cexp(-sinx)} 　c:定数
(1)に代入
y'=cosx-c*cosxexp(-sinx)}
ycosx={sinx-1+cexp(-sinx)}cosx =sinxcosx-cosx+c*cosxexp(-sinx)
y'+ycosx=sinxcosx
で一般解になっていますね。

No.4の続き（確認まで）
y=sin＾2x/2(1+sinx)
y'={2cosxsinx(2(1+sinx))-2cosx(1+sinx)sin＾2x}/{2(1+sinx)}＾2
=4cosxsinx+4cosxsin＾2x-2cosxsin＾2x-2cosxsin＾3x/{2(1+sinx)}＾2
=4cosxsinx+2cosxsin＾2x-2cosxsin＾3x/{2(1+sinx)}＾2
=2cosxsinx（2+sinx-sin＾2x）/2{(1+sinx)}＾2

ycosx=sin＾2xcosx/2(1+sinx)
=sin＾2xcosx{2(1+sinx)}/{2(1+sinx)}＾2
=2sinxcosx(sinx+sin＾2x)/{2(1+sinx)}＾2
y'+ycosx
=2cosxsinx（2+sinx-sinx＾2x+sinx+sin＾2x）/{2(1+sinx)}＾2
=4cosxsinx（1+sinx）/4{(1+sinx)}＾2
=cosxsinx/(1+sinx)
ということで、一般解ではないですね。
＃４は間違いです。ごめん。

回答No.5

mmky

第2問
一階線形微分方程式　
dy/dx +ycosx=sinxcosx---(1)
線形だから一般解は、
ｙ=exp(-∫cosxdx){∫{exp∫cosxdx)}sinxcosxdx}
=exp(-sinx){∫exp(sinx)sinxcosxdx}
sinx=t cosxdx=dt
=exp(-t){∫texp(t)dt}
=exp(-t){texp(t)-∫exp(t)dt}
=exp(-t){texp(t)-exp(t) +c}
={t-1 +cexp(-t)}
だから
y={sinx-1+cexp(-sinx)}
になるね。　
参考まで

回答No.4

mmky

dy
--+ycosx=sinx×cosx---(1)がある
dx
sinx×cosxの×はかけるという意味ですね。
cosx で両辺を割ると、
dy
------+y=sinx
cosxdx
ここで、sinx＝z とおけば、cosx=dz/dx 、dz=cosxdx
だから
dy
---+y=z になる。
dz
整理すると、　dy+ydz=zdz
両辺積分すると　∫（dy+ydz）=∫zdz
そうすると、y+yz=z＾2/2　これは y(1+z)=z＾2/2
なるので　y=z＾2/2(1+z) となる。
ｚ=sinx を代入して　y=sin＾2x/2(1+sinx)
ということかな。
参考まで

回答No.3

mmky

第1問
dy/ dx =y~2-x~2 / 2xy
(ヒントz=y/xと置換しなさい）
ということですから置換すればよいのです。
dy/ dx =x~2（y~2/x~2-1) / 2x＾2(y/x)
z=y/x y=xz dy/dx=z+xdz/dx
z+xdz/dx =（z＾2-1) / 2z
xdz/dx ={（z＾2-1) / 2z} -z =（z＾2-1-2z＾2）/ 2z
xdz/dx =-（1+z＾2）/ 2z
ひっくり返して,xとｚで整理すると
dx/x={-2z/（1+z＾2）}dz
∫dx/x=∫{-2z/（1+z＾2）}dz
lnx+C=-ln（1+z＾2）
C1・exp(x)=exp-(1+z＾2）
で解けるんじゃない。
確認してみて。
参考まで

回答No.2

may-may-jp

応用数学の教科書を見れば分かるんじゃないでしょうか？
「応用解析要論」（田代嘉宏著、森北出版）
など。

回答No.1

honnsuki

これの答えが知りたいのか解く過程が知りたいのか具体的にどこで悩んでいるかを書かないと答えようが無いと思います。