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同次形高階微分方程式について
同次形高階微分方程式について 同次形高階微分方程式の単元を読んでいますと、「y,dy,d2y について同次の場合」とか「x,dx について同次の場合」とあるのですが、式を見てy,dy,d2y について同次なのか、x,dx について同次なのか判断できません。具体的には、 xy(d2y/dx2)-x(dy/dx)^2+y(dy/dx)=0 はy,dy,d2y について2次の同次形で、x^2(d2y/dx2)+x(dy/dx)+y=0 はx,dx について0次の同次形 であるとありますが、どのように判断すればよろしいのでしょうか?
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形の上からだけいうと「dを外して見る」ということです。 xy(y/x2)-x(y/x)^2+y(y/x)=0 要するにy^2/x x^2(y/x2)+x(y/x)+y=0 要するにy これはxとdxは同じ次元(単位)を有しyとdyは同じ次元(単位)を有していると考えるならばおかしなことではありません。 d^ny/dx^nはy/x^nと同次と考えるのがコツです。
その他の回答 (1)
y=a*(e^z)(aは定数) とおいてyの代わりにzについての方程式に書き直すと、非線形の部分が指数関数に吸収され、同次性の関係で指数部分が一致してうまく消えてくれるので、線形の方程式が得られます。 さらに、w=dz/dxとしてwについての方程式に書き直すと、きれいに変数分離型(今回だとx(dw/dx)+w=0)になりますよ。
お礼
ありがとうございます。しっかり考えてみます。
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spring135様ありがとうございます。なんとか理解することができました。しかしながら、微分方程式の解を求める上で、なぜ、このような考え方が必要なのでしょうか?微分方程式の解の求め方を十分に理解しきれておりません。申し訳ございませんが、アドバイスの程よろしくお願いたします。