- ベストアンサー
微分積分（同次形）について
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
１の微分方程式 xy y' ＋ x^2 ＋ y^2 －xy ＝ 0 は， y' ＋ 1/(y/x) ＋ y/x －1 ＝ 0 と変形できますから，y'＝f(y/x) の形なので，同次形です． ２の微分方程式 x^2 y'＝y^2 ＋ x^2 y は同次形ではありません． この微分方程式を変形すると， y'－y＝(y^2)/(x^2) となります．これは，ベルヌーイ（Bernoulli）型の常微分方程式と言います． y'－y＝(y^2)/(x^2) に対して，z＝1/y とおくと， z に関する１階線形常微分方程式となり，求積法で解くことが出来ます．
その他の回答 (1)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
y’= 1 - (x/y) - (y/x) は、y’= f(y/x), f(u) = 1 - (1/u) - u ですよ。 y’= (y/x)^2 + y は、同次形ではありません。 y/x = u で変数変換して、変数分離形になるかどうかで判定するのも一手です。
関連するQ&A
- 同次形高階微分方程式について
同次形高階微分方程式について 同次形高階微分方程式の単元を読んでいますと、「y,dy,d2y について同次の場合」とか「x,dx について同次の場合」とあるのですが、式を見てy,dy,d2y について同次なのか、x,dx について同次なのか判断できません。具体的には、 xy(d2y/dx2)-x(dy/dx)^2+y(dy/dx)=0 はy,dy,d2y について２次の同次形で、x^2(d2y/dx2)+x(dy/dx)+y=0 はx,dx について０次の同次形 であるとありますが、どのように判断すればよろしいのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の微分方程式の問題です
微分方程式の同次形の問題が分かりません。 次の微分方程式を解け 1.(2x^2)(y')=(x^2)(y^2)-2xy-1 [u=xyとおく] 2.y'=-{x(x^2+y^2+1)}/{y(x^2+y^2-1)} [u=x^2+y^2とおく] です。 途中の過程も書いてあると助かります。 どなたかお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式について
微分方程式の問題について２つほど聞きたいことがあります。 (1)y''+y'-2y=10 (1)の問題は、y''+y'-2y=0と考えて解いていいんですよね？ 定数係数２階線形同次方程式と呼ばれるもので良いんですよね？ (2)S(x)=(x^4)/(2×4)+(x^6)/(2×4×6)+(x^8)/(2×4×6×8)+・・・とする。このとき以下の問いに答えよ。 (1) S(x)が満たす１階の微分方程式を求めよ。 (2) 上記の微分方程式を解いてS(x)を求めよ。 という問題です。このような形の微分方程式はあまり見慣れません。 どのように解いていけばよいのかよく分かりません。 色々とお聞きしてしまい、申し訳ないんですが、よろしくお願いしますm(_ _)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式(同次系)について
同次形ってのが本を読んでもいまいちよくわからないのですが、 xy'=y+xってものは、 y’＝y/x+1 dy/dx= y/x+1 なので、これが同次であるのはわかるのですが、 今解いている問題なんですが、 xyy"-x(y')^2+y^2=0 はyについて同次って書いてあるんですが、yについて同次であるとは どういったことになるのでしょうか？ すみませんが、ご教授ください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏微分（？）について
すべての実数xについて微分可能な関数f(x)において f(x+y)=f(x)+f(y)+xy…(A) f'(0)=1 (1)f(0)の値を求めよ。 (2)f(x)を求めよ。 という問題ですが、(1)はいいとして、(2)で計算していくときに普通にやるならば導関数の定義に持ち込むことになると思います。ただこのタイプの問題としてはもちろん毎回違う形で関数が与えられますから、式変形の最中にどうすればいいか止まってしまうこともありえます。 ところが、この問題の場合すべてのxにおいて微分可能が保障されているので「(A)において、xを固定し、yで微分する」というやり方（多分これが偏微分だと思うのですが...）を用いるとすぐに解けますし、迷う箇所もありません。 これは予備校で教わったのですが、もちろん教科書には書かれていません。確かに(x+y)^2=x^2+2xy+y^2に対してこれと同じ事をおこなうと、両辺等しくなり等号は成り立ちます。つまり恒等式であり続けます。しかしこの解法について根本的に理解したとは思えませんし、教科書にないようなこういう解答は許されるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 同次形の微分方程式ついて（「解析学序説(上)」 ）
よろしくお願いいたします。 【記号の説明】 定数 c については、c^(-λ) は「c のマイナスλ乗」を、 変数 x、y, u については １ y^(n)などは y のn階微分を、 ２ x^《n》はxのｎ乗を、 それぞれ、あらわします。 同書からの引用部分は『・・・』で示してあります。 「容易に階数降下のできる高階常微分方程式」という節の中に「同次形（の常微分方程式)」の項目があります。 『（λを定数として）、 x,y について同次形 (*) c^(-λ)F(cx,cy,y',c^(-1)y",...,c^(1-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) のときは、c=1/x とおけば、 (**） f(y/x,y',xy",...,x^《n-1》y^(n))=0 の形になる。そこで、ｙ=xu とおくと、y'=xu'+u, y"=xu"+2u',...,一般にライプニッツの公式で y^(k)=xu^(k)+ku^(k-1) で、ゆえに、x^《k-1》y^(k)=x^《k》u^(k)+kx^《k-1》u^(k-1)となり、ｘ についての同次形、すなわち(***)の場合（下記）に帰着された。』 x^《k-1》y^(k)=・・・までは分かるのですが、それから直ちにｘ についての同次形と結論できるのが、どうしても分かりません。(**)の左辺に、y, y', y", x^《k-1》y^(k), の右辺や、x=1/c を代入して、なんとか(***)が成立することを示そうとしたのですが、うまくいきませんでした。 なお、ｘ についての同次形というのは （***）c^(-λ)F(cx,y,c^(-1)y',...,c^(-n)y^(n))= F(x,y,y',...,y^(n)) が成り立つことを言います。 どうぞよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
