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微分方程式 1階線形
y’-2y/x = xy^3 は y’/y^3-2/x*1/y^2と変形できる。 ここで、1/y^2 = uとおくと、この微分方程式はx、uに関する1階線形になることを示せ。 次にそれを解くことにより、この微分方程式の一般解を求めよ。 という問題なのですが一応解いてみたのですが合っているのかいまいち分かりません。 間違っている箇所があれば教えてください。 よろしくお願いします。 ↓ y’／y^3－2／x・1／y^2＝x 1／y^2＝uとおくと、 du／dx＝du／dy・dy／dx du／dx＝(－2／y^3)・y’ du／dx＝－2y’／y^3 となりますから、 y’／y^3＝－1／2 du／dx よって、元式に代入すると、 －1／2 du／dx－2／x u＝x …(1) 定数変化法を用いる。斉次形の解をまず求める －1／2 du／dx－2／x u＝0 du／dx＝－4u／x ∫du／u＝－4∫dx／x ln|u|＝－4ln|x|＋Ｃ1 u＝±e^(－4ln|x|＋Ｃ1) u＝Ｃx^(-4) Ｃがxの関数であったものとして、非斉次形の解を求める。 Ｃ＝p（pはxの関数）とおくと、 du／dx＝p’x^(-4)－4px^(-5) ですから、(1)にそれぞれ代入して、 －1／2 {p’x^(-4)－4px^(-5)}－2／x px^(-4)＝x －1／2 p’x^(-4)＋2px^(-5)－2px^(-5)＝x －1／2 dp／dx＝x^5 ∫dp＝－2∫x^5 dx p＝－1／3 x^6＋Ｃ 従って、 u＝(－1／3 x^6＋Ｃ)x^(-4) u＝－1／3 x^2＋Ｃx^(-4) となるから、1／y^2＝uより、 1／y^2＝－1／3 x^2＋Ｃx^(-4)
- myao0407
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- alice_44
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http://okwave.jp/qa/q7761635.html ↑ の No.2 に対する補足質問は、自己解決されたようですね。 「Ｃ＝p（pはxの関数）とおくと」という表現は少し変ですが、 計算はそれで良いと思います。 末行の式を y=… と変形するときに計算間違いをしないよう 気をつけると良いでしょう。
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