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常微分方程式の一般解についての質問です。
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y"+(y')^2+4xy'+(2x)^2+2=0. をよ~くにらんでみましょう。 (2x)^2とかおかしくないですか? 4x^2ではなく(2x)^2って。 これは平方を作れっていってるんです。 y"+(y'+2x)+2=0. z=y'+2xとすると z'+z^2=0. -z'/z^2=1. 1/z=x+C. y'=-2x+1/(x+C). 後は簡単な積分です。
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- inara1
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ANo.2 さんの解法のほうがすっきりしていますね。
お礼
いろいろなやり方を知っていた方が力になるので、とても助かりました。 次数を下げて解いていくということも、まだちゃんと頭に定着していなかったので ここでしっかりと定着させます。 ありがとうございました。
- inara1
- ベストアンサー率78% (652/834)
この微分方程式は y を含まないので、y' = p(x) とおくことで次数を下げることができます。 y' = p(x) なら、y'' = p' なので、問題の微分方程式は d^2y/dx^2 + (dy/dx)^2 + 4*x*dy/dx + (2*x)^2 + 2 = 0 → p' + p^2 + 4*x*p + (2*x)^2 + 2 = 0 --- (1) と書き直すことができます。これは p に関する1階の微分方程式なので簡単に解けます。 式(1)を書き直すと p' + p^2 + 4*x*p + (2*x)^2 + 2 = p' + ( p + 2*x )^2 + 2 = 0 --- (2) となります。ここで q(x) = p + 2*x と置くと p = q - 2*x、p' = q' - 2 なので式(2)は q' - 2 + q^2 + 2 = 0 → q^2 + q' = 0 --- (3) となります。ここで、さらに r(x) = 1/q とおくと q = 1/r、q' = -r'/r^2 なので、式(3)は 1/r^2 - r'/r^2 = 0 → r' = 1 → r = x + C1 (C1は定数) となります。したがって q = 1/r = 1/( x + C1 ) p = q - 2*x = 1/( x + C1 ) - 2*x y = ∫p dx = ln( x + C1 ) - x^2 + C2 (C1, C2は定数)
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