トートロジーについて

質問

(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)はトートロジーで、おなじみの３段論法の正しさを示します。
ところが￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)もトートロジーですが、￢(A⇒￢B)から(A⇒B)を証明できません。ある友人はこれが背理法の式だと言い出したので、こんな論争になりました。もしこの友人が正しいとすれば、￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)もトートロジーなので、同じ前提￢(A⇒￢B)からA⇒BとB⇒Aの両方が導かれます。
　これはどう考えるべきなのでしょうか。トートロジーとは何を示すのでしょうか。これがもとで友人との関係がおかしくなっています。

回答No.9

Caper

● ANo.7 の 3)「 二等辺三角形は正三角形である 」という命題の解釈について。

　 二等辺三角形は次の 4種類 に大別されると、私は思います。

　・正三角形以外の鋭角二等辺三角形 (= <えい> )
　・鈍角二等辺三角形 (= <どん> )
　・直角二等辺三角形 (= <直> )
　・正三角形 (= <正> )

　 いま ( 二等辺三角形全体の集合 ) の中から二等辺三角形を任意に 1つ 選ぼうとします。任意に 1つ 選ぼうとする二等辺三角形が <正> であるか否かを、私は前もって判断することができません。ただし、任意に 1つ 選ぼうとする二等辺三角形が <えい>・<どん>・<直>・<正> のうちのどれかであることはたしかです。任意に 1つ 選んだ二等辺三角形が、<正> でない場合もありますし、たまたま <正> である場合もあります。
　 ですから、「 二等辺三角形は正三角形である 」という命題の真偽を問われるとき、私は答えるのにとまどいます。

●「 ∀と∃に泣く 」p.81 に、「 偶数は合成数である 」という命題が取り上げられています。そして、次のような説明が添えられています。「 この命題は、主語と述語の分析を行なった上でないと、( この命題の ) 否定を作っても余り意味がない。なぜかというに、ある偶数は合成数なのか、すべての偶数が合成数なのかが問題になるので、述語論理の領域で取扱うのが望ましいからである 」
　 この説明は (p → q) の否定 に関する記述の中の一部です。しかし、そこには skoyan さん が抱える疑問の解消にも役立つ提案が記述されていると、私は思います。以下は、述語論理の領域における私の考察です。

● いま、集合 A と 集合 B を次のように定めるとします。

1) A = {x | x は <正> である} = {x | a(x)}
　　 = {<正>}

2) B = {x | x は二等辺三角形である} = {x | b(x)}
　　 = {<えい>, <どん>, <直>, <正>}

　 A は要素が 1つ だけの集合です。B は要素が 4つ の集合です。きわめておおざっぱな集合の定めかたですが、不合理ではないと、私は思います。( 下記の添付画像を参照してください )
　 a(x) と b(x) は 条件 (= 命題関数 ) です。もちろん

3) a(x) = ( x は <正> である )
4) b(x) = ( x は二等辺三角形である )

ということです。x しだいで、a(x) と b(x) はそれぞれ真か偽のどちらか一方になります。別の言いかたをすれば、集合 A は ( a(x) が真となる x 全体の集合 )、集合 B は ( b(x) が真となる x 全体の集合 ) となります。
　 そこで、合成された次の 条件 (= 命題関数 ) について考えてみましょう。

　 b(x) → a(x) = ( x は二等辺三角形である ) ならば ( x は <正> である)

　 上記において、x という文字が 2つ 出てきますが、x は同じものです。b(x) のかっこ内の x と a(x) のかっこ内の x が異なるということはないとしてください。

5) x∈A = {<正>} のとき、(b(x) → a(x)) は真。
6) x∈B - A = {<えい>, <どん>, <直>} のとき、(b(x) → a(x)) は偽。
7) x∈B でないとき、(b(x) → a(x)) は真。

という結果が得られるように、私は思います。5) が真となっていることで、skoyan さん が抱えます疑問は解消されませんでしょうか。もちろん、x∈A = {<正>} のとき、(a(x) → b(x)) も真になります。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。
　 恐れ入りますが、ANo.7 の 1), 2) の記述については、もう少し時間をください。

補足

ありががとうございます。
しかし、貴方様の捉え方は私の疑問とは無関係な誤解です。

　このように書かなくても、この集合の包含関係は当然です。

　最初の私の疑問を読み返して下さい。三角形の例題はA⇒BとB⇒Aがトートロジーを根拠にして、同一前提から導かれたり証明されるはずはない、という単純な例題です。