トートロジーについて

質問

(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)はトートロジーで、おなじみの３段論法の正しさを示します。
ところが￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)もトートロジーですが、￢(A⇒￢B)から(A⇒B)を証明できません。ある友人はこれが背理法の式だと言い出したので、こんな論争になりました。もしこの友人が正しいとすれば、￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)もトートロジーなので、同じ前提￢(A⇒￢B)からA⇒BとB⇒Aの両方が導かれます。
　これはどう考えるべきなのでしょうか。トートロジーとは何を示すのでしょうか。これがもとで友人との関係がおかしくなっています。

回答No.10

Caper

● トートロジーについては、ANo.6 2), 3) の記述よりましなものを、結局、私は示すことができません。ごめんなさい。

　 ANo.6 の投稿後にわかってきたことは、「 α は β を導く、すなわち α⇒β 」ということとと、「 α→β はトートロジーである 」ということが同義であるようです。そして、α が β を導くときに、α⇒β を「 有効な推論 」と呼んでさしつかえないようです。

　 そして、私が強調しておきたいことは、次のことです。

　・α は β を導く。
　・α⇒β である。
　・α→β はトートロジーである。
　・α→β は有効な推論である。

　 以上の 4つ は同義のようで、いずれも「 α が真であるとき、β は必ず真となる 」ということのようです。

● 私が投稿した ANo.9 は、お抱えになる疑問とは無関係と skoyan さん はお感じになりましたか … 。それはまことに残念ですね。実は、関係が深いと私はいまだに思っています。

1) ￢(A → ￢B) ⇒ (A → B)
2) ￢(A → ￢B) ⇒ (B → A)

　 上記の 2つ の「 有効な推論 」の解釈をめぐって、A → B という合成命題に「 [1] 正三角形は二等辺三角形である 」という文を例として skoyan さん は最初にあてました。それが発端となって、B → A という合成命題にあてる文を「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。

　 ANo.9 において、私が主張していることは、「 例としてあてた文が不適当であるがために、『 有効な推論 』の役目を理解するのに苦労しているのではないでしょうか 」ということです。

　 文[1] の真偽ははっきりしていますが、文[2] の真偽ははっきりしていないと、私は思います。ANo.9 において、文[2] だけを私は取り上げて、文[2] は ( 命題論理の領域で扱う ) 命題としては不適当ではないかと、記述したつもりです。そして、文[2] を別の形に ( すなわち、述語論理の領域で扱える形に ) 変えることによって、2) という「 有効な推論 」の役目を、私は示したつもりです。
　 そして、ANo.9 の最後のほうに、私は次の 2つ のことを記述をしました。「 x∈A = {<正>} のとき、(b(x) → a(x)) は真 」「 もちろん、x∈A = {<正>} のとき、(a(x) → b(x)) も真になります 」
　 前者が上記の 2) と、後者が上記の 1) と関係が深いことを私はにおわせたつもりなのですが、skoyan さん には伝わらなかったようですね。私の説明のしかたがへただったようです。
　 ￢(a(x) →￢b(x)) が真になるのは、この場合では、x∈A = {<正>} のときだけであることを明記しておけばよかったでしょうか。

● ANo.7 の補足に、「 すべての国際紛争は日本に無関係だ 」という文がありますよね。これは全称命題であると、私は思います。

　 全称命題の表記のしかたによって、全称命題の否定をうっかり誤解してしまう場合があるように、私は推測します。

　「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」という全称命題の表記について、私はこれより考察します。この全称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

3) ∀x∈R (x^2≧0)
4) ∀x ((x∈R)→(x^2≧0))

　 この全称命題の否定は「 2乗 すると負の数になる実数が存在する 」という 特称命題 (= 存在命題 ) になると、私は思います。この特称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

3') ∃x∈R ((x^2≧0) の否定) = ∃x∈R (x^2 < 0)
4') ∃x (((x∈R)→(x^2≧0)) の否定) = ∃x ((x∈R)∧(x^2 < 0))

　 全称命題、特称命題を、3), 3') のようにふだん表記していて、4), 4') のような表記のしかたになじみがないかたがたが、この全称命題の否定をまちがえやすいのではないかと、私は推測します。そのようなかたがたは、x∈R と x^2≧0 ( もしくは x^2 < 0 ) とのつながりに無頓着であるかもしれません。そのようなかたがたが、この全称命題の否定を 4') のようにいざ表記しようとするとき、次の 5) のようなまちがいをおかしやすいのではないかと、私は推測します。

5) ∃x ((x∈R)→(x^2 < 0))

　 skoyan さん のご友人が背理法について誤解なさっているのは、ひょっとしたらこのことが関係しているかもしれないと、私は思いました。

● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。

補足

何時も真剣にご検討いただき有難うございます。

省略
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　 そして、私が強調しておきたいことは、次のことです。

　・α は β を導く。
　・α⇒β である。
　・α→β はトートロジーである。
　・α→β は有効な推論である。

　 以上の 4つ は同義のようで、いずれも「 α が真であるとき、β は必ず真となる 」ということのようです。
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　上記の３番目が他の３つと同じかどうかが、私の疑問・質問であります。3番目を除く３つは、厳密に区別する専門家がいるかもしれませんが、通常の日本語としては同等に扱っているはずです。
問題になるのは、トートロジーが正しい推論の根拠になるかどうかです。
----------------------------------------------------------------------● 私が投稿した ANo.9 は、お抱えになる疑問とは無関係と skoyan さん はお感じになりましたか … 。それはまことに残念ですね。実は、関係が深いと私はいまだに思っています。

1) ￢(A → ￢B) ⇒ (A → B)
2) ￢(A → ￢B) ⇒ (B → A)

　 上記の 2つ の「 有効な推論 」の解釈をめぐって、A → B という合成命題に「 [1] 正三角形は二等辺三角形である 」という文を例として skoyan さん は最初にあてました。それが発端となって、B → A という合成命題にあてる文を「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。
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　これも貴方の誤解です。

「その鳥がカラスならば、その鳥は黒い鳥です」と「その鳥が黒い鳥ならば、その鳥はカラスです」でも良かったのですが、非論理的例では「昔、金色のカラスがいた」とか言われそうで、初等幾何学の例にしただけです。「逆は真ならず」の簡単な例です。
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「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。
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等と私が言う筈がないのです。この上記は成り立たない簡単な例です。

省略
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　 文[1] の真偽ははっきりしていますが、文[2] の真偽ははっきりしていないと、私は思います。
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　これは論争の余地のない明白なあなたの誤りです。

省略
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　「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」という全称命題の表記について、私はこれより考察します。この全称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

3) ∀x∈R (x^2≧0)
4) ∀x ((x∈R)→(x^2≧0))

　 この全称命題の否定は「 2乗 すると負の数になる実数が存在する 」という 特称命題 (= 存在命題 ) になると、私は思います。この特称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。

省略
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　このような複雑に考えるまでもなく「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」は偽ですよ。実数には虚数iが含まれますからi^2＝－1＜0で、長々と記号化する意味はありません。
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　 skoyan さん のご友人が背理法について誤解なさっているのは、ひょっとしたらこのことが関係しているかもしれないと、私は思いました。
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彼はただ単純に脳みそが不足だっただけです。得意の数学も疑わしいです。
対偶と背理法の関係も理解できず、しかも理論的な反論はほとんどなく、ただ自分の式が正しいと、どこかの大学講師の話だけでしたから。石谷さんの嘆きと同じです。
　折角お骨折り頂きましたが、当初の私の疑問の意味が誤解されているようですから、もう一度お読みください。どうもこれは、かなりハイレベルの疑問のようです。
　ウイットゲンシュタインも、後期では違うようですから・・・。