背理法

質問

背理法を使う問題を解いていたのですが、一つだけわからないものがあるので、教えてください。ヒントをいただきたいです。

「平行でない異なる2直線は1点で交わる」
「直線外の1点を通って、この直線に平行な直線は1本だけである。」
これらのことを使って、次にことを証明しなさい。

「異なる3直線a,b,cについて
a//b　かつ　b//c　ならば　a//c

という問題です。

背理法を使うということなので、「a//b　かつ　b//c　のとき　a//c　にならない」を証明すればいいのでしょうか？またその時、どのように証明すればいいのでしょう。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

「（a//b　かつ　b//c）でも　（a//c　にならない）」
を仮定すると矛盾が出てくることを示します。

ａとｃが平行でないとする。

⇔ａとｃは交わる。（ｂとは平行だから交わらないので、この点はｂ上の点ではない）

⇔（ａとｃは異なる直線だから、）１つの点（交点）を通ってｂに平行な線がａとｃの２本引けたことになる。
これは最初の前提に反する。

お礼

なるほど！という感じでした。ありがとうございました。

回答No.3

ticky

証明したいことは、
「異なる3直線a,b,cについて、a//b　かつ　b//c　ならば　a//c」
ですから、

背理法でやることは、
『「a//b　かつ　b//c　のとき、　a//c　でない」ということはあり得ない』ことを示せばいいのです。

そうすれば、「異なる3直線a,b,cについて、a//b　かつ　b//c　ならば　a//c」を証明したことになるでしょう？

具体的には、
「
a//bかつb//cである異なる三つの直線a、b、cについて、「a//cでない」と仮定する。

「平行でない異なる2直線は1点で交わる」から、どこかにaとcが交わる交点が存在する。

ところで、「a//bかつb//c」だが、上記から「bに平行な二つの直線が、ある一点で交わっている」。

これは「直線外の1点を通って、この直線に平行な直線は1本だけである」に矛盾するので、『「a//b　かつ　b//c　のとき、　a//c　でない」ということはあり得ない』。

だから、「異なる3直線a,b,cについて、a//b　かつ　b//c　ならば　a//c」である。
」

とやれば完璧でしょう。
(高校でここまで難しそうにやる必要はないでしょうけど。)

お礼

わかりやすく書いていただき、ありがとうございました。今回は、早く回答をいただいた方からポイントをつけさせていただいたので、Tickyさんにはポイントをさしあげられませんでした。すみません。

回答No.2

liar_adan

>「a//b　かつ　b//c　のとき　a//c　にならない」を証明すればいいのでしょうか？

違います。
「a//b　かつ　b//c　のとき"でも" a//c にならない"ことがあるかもしれない"」
と仮定して、
いろいろ考えていきます。

背理法というのは、
与えられた命題に反すると仮定して、
それからいろいろ考えて、矛盾を出していきます。
このとき、最初の命題の反対の命題を考えることが
少々ややこしい作業です。
たとえば「すべての場合○○である」の反対は、
「すべての場合に○○でない」…ではなくて、
「○○でない場合があるかもしれない」です。
ここらへん注意してください。

そういうふうに、与えられた命題が成り立つと仮定します。
いわば架空の世界を作り出し、
その架空の世界で何が起こるか考えるのです。
その世界で「矛盾」がおこったら、
そういう架空の世界は成り立たない、
つまり最初の命題の反対は成り立たない。
よって最初の命題は成り立つ、という方法です。

今回の場合は、
「a//b　かつ　b//c　のときでも a//c にならないことがある」
を仮定します。
そうすると a//c でないとき、
上の方の公理「平行でない異なる2直線は1点で交わる」により、
aとcは1点で交わることがいえます。
そうすると、もう一つの公理を使って…
…あとは考えてください。

お礼

背理法の説明を頂き、ありがとうございました。より理解できたと思います。