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トートロジーについて
(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)はトートロジーで、おなじみの3段論法の正しさを示します。 ところが¬(A⇒¬B)⇒(A⇒B)もトートロジーですが、¬(A⇒¬B)から(A⇒B)を証明できません。ある友人はこれが背理法の式だと言い出したので、こんな論争になりました。もしこの友人が正しいとすれば、¬(A⇒¬B)⇒(B⇒A)もトートロジーなので、同じ前提¬(A⇒¬B)からA⇒BとB⇒Aの両方が導かれます。 これはどう考えるべきなのでしょうか。トートロジーとは何を示すのでしょうか。これがもとで友人との関係がおかしくなっています。
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ウィットゲンシュタインの前期思想に【トートロジーは真理である】と言うのがあります。 条件文の論理式で、(1)(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)は、3段論法を示すトートロジーです。 (2)¬(A⇒¬B)⇒(A⇒B)と(3)¬(A⇒¬B)⇒(B⇒A)もトートロジーですが、(2)と(3)からはA⇒BやB⇒Aは¬(A⇒¬B)から、導いたり証明したりではきません。 A⇒Bの具体例を「正三角形は2等辺三角形である」とすれば、B⇒Aは「2等辺三角形は正三角形である」となり矛盾するからです。 3段論法その他の場合は、トートロジーが真理を示し、この例の場合などでは、真理つまり正しい事実を示さないのは、哲学的な分野ではどのように考えるのでしょうか。
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補足
何時も真剣にご検討いただき有難うございます。 省略 ---------------------------------------------------------------------- そして、私が強調しておきたいことは、次のことです。 ・α は β を導く。 ・α⇒β である。 ・α→β はトートロジーである。 ・α→β は有効な推論である。 以上の 4つ は同義のようで、いずれも「 α が真であるとき、β は必ず真となる 」ということのようです。 ---------------------------------------------------------------------- 上記の3番目が他の3つと同じかどうかが、私の疑問・質問であります。3番目を除く3つは、厳密に区別する専門家がいるかもしれませんが、通常の日本語としては同等に扱っているはずです。 問題になるのは、トートロジーが正しい推論の根拠になるかどうかです。 ----------------------------------------------------------------------● 私が投稿した ANo.9 は、お抱えになる疑問とは無関係と skoyan さん はお感じになりましたか … 。それはまことに残念ですね。実は、関係が深いと私はいまだに思っています。 1) ¬(A → ¬B) ⇒ (A → B) 2) ¬(A → ¬B) ⇒ (B → A) 上記の 2つ の「 有効な推論 」の解釈をめぐって、A → B という合成命題に「 [1] 正三角形は二等辺三角形である 」という文を例として skoyan さん は最初にあてました。それが発端となって、B → A という合成命題にあてる文を「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー これも貴方の誤解です。 「その鳥がカラスならば、その鳥は黒い鳥です」と「その鳥が黒い鳥ならば、その鳥はカラスです」でも良かったのですが、非論理的例では「昔、金色のカラスがいた」とか言われそうで、初等幾何学の例にしただけです。「逆は真ならず」の簡単な例です。 ---------------------------------------------------------------------- 「 [2] 二等辺三角形は正三角形である 」と、skoyan さん はなさいました。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 等と私が言う筈がないのです。この上記は成り立たない簡単な例です。 省略 ---------------------------------------------------------------------- 文[1] の真偽ははっきりしていますが、文[2] の真偽ははっきりしていないと、私は思います。 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー これは論争の余地のない明白なあなたの誤りです。 省略 ---------------------------------------------------------------------- 「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」という全称命題の表記について、私はこれより考察します。この全称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。 3) ∀x∈R (x^2≧0) 4) ∀x ((x∈R)→(x^2≧0)) この全称命題の否定は「 2乗 すると負の数になる実数が存在する 」という 特称命題 (= 存在命題 ) になると、私は思います。この特称命題の表記として、私が思いつくものに次の 2つ があります。 省略 ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー このような複雑に考えるまでもなく「 どの実数の 2乗 も 0 以上になる 」は偽ですよ。実数には虚数iが含まれますからi^2=-1<0で、長々と記号化する意味はありません。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――― skoyan さん のご友人が背理法について誤解なさっているのは、ひょっとしたらこのことが関係しているかもしれないと、私は思いました。 ――――――――――――――――――――――――――――――――――― 彼はただ単純に脳みそが不足だっただけです。得意の数学も疑わしいです。 対偶と背理法の関係も理解できず、しかも理論的な反論はほとんどなく、ただ自分の式が正しいと、どこかの大学講師の話だけでしたから。石谷さんの嘆きと同じです。 折角お骨折り頂きましたが、当初の私の疑問の意味が誤解されているようですから、もう一度お読みください。どうもこれは、かなりハイレベルの疑問のようです。 ウイットゲンシュタインも、後期では違うようですから・・・。