トートロジーについて

質問

(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)はトートロジーで、おなじみの３段論法の正しさを示します。
ところが￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)もトートロジーですが、￢(A⇒￢B)から(A⇒B)を証明できません。ある友人はこれが背理法の式だと言い出したので、こんな論争になりました。もしこの友人が正しいとすれば、￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)もトートロジーなので、同じ前提￢(A⇒￢B)からA⇒BとB⇒Aの両方が導かれます。
　これはどう考えるべきなのでしょうか。トートロジーとは何を示すのでしょうか。これがもとで友人との関係がおかしくなっています。

回答No.7

Caper

skoyan さん が抱えます問題は複数あるようですね。私が回答できそうなのは、次の 3つ です。ただし、文章の推敲に数日を要します。数日後に、また投稿する予定です。とり急ぎ、ご連絡まで。

1) ご友人の誤解を解くには

　 例えば、全称命題や特称命題の表記のしかたを変更することで、誤解が解けないか。
　 具体例) ∀x∈R(x^2≧0) を ∀x((x∈R)→(x^2≧0)) に変更。

2) トートロジーの役目は

　 哲学におけるトートロジーの役目について、私は何も知りません。数学においては、「 有効な推論 」という形でその威力が発揮されるのではないかと、私は思います。

3)「 二等辺三角形は正三角形である 」という命題の解釈は

　 命題論理としてではなく、述語論理としてこの命題を扱ってはどうか。
　「 ∀と∃に泣く 」p.81 参照。

補足

参考までに三段論法のトートロシー性の証明を掲載します。
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三段論法のトートロジーの証明　(A⇒B)∧(B⇒C) ⇒(A⇒C)≡T
(A⇒B)∧(B⇒C) ⇒(A⇒C)　≡(￢A∨B)∧(￢B∨C) ⇒(￢A∨C)
≡(￢A+B)(￢B+C) ⇒(￢A+C)≡(￢A￢B+B￢B+￢AC+BC)⇒(￢A+C)
≡￢(￢A￢B+￢AC+BC)+(￢A+C)≡(A+B) (A+￢C) (￢B+￢C) +(￢A+C)
≡(A+B)(A￢B+A￢C+￢B￢C+￢C￢C)+(￢A+C)
≡AA￢B+AA￢C+A￢B￢C+A￢C+AB￢B+AB￢C+B￢B￢C+B￢C+￢A+C
≡A￢B+A￢C+A￢B￢C+A￢C+AB￢C+B￢C+￢A+C
≡A￢C(￢B+B)+ A￢B+A￢C+B￢C+￢A+C
≡A￢C+ A￢B+B￢C+￢A+C・・・・(1)
≡A￢C +A￢B +B￢C+￢A+ C(A+￢A)・・・・変形
≡ A￢B +B￢C+￢A+A(￢C +C)+￢AC)
≡ A￢B + B￢C +￢A + A+￢AC
≡ A￢B + B￢C + ( A +￢A )+￢AC
≡ A￢B +B￢C +(1)+￢AC≡(1)≡T
(1) より
≡A￢C +A￢B +B￢C+￢A(C+￢C)+ C・・・・変形2
≡A￢C +A￢B +B￢C+￢AC+￢A￢C+ C
≡A￢C +￢A￢C+A￢B +B￢C+￢AC +C
≡￢C( A +￢A)+A￢B +B￢C+￢AC +C
≡￢C+A￢B +B￢C+￢AC +C
≡A￢B +B￢C+￢AC +(￢C+C)
≡A￢B +B￢C+￢AC +(1)≡(1)≡T
以上によりトートロジーが証明された。
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なお哲学としての「トートロジー」という用語は【論理哲学論考】ウィットゲンシュタインによるようです。彼は哲学者でもあり、バーランドラッセルなどと同時期の論理学者でもあります。上記のトートロジー性は真理値表でも出来ますが、ここにうまくコピーできないので、論理式のみにしました。
　ここでいう論理式は、個々の命題に式の代入もできるものです。
　三角形の具体例は、A⇒BとB⇒Aの両方が、同時には成立しないということへの簡単な例としての意味です。

　愚かな私の友人は、限量子まで含んだ論理への理解力はなさそうです。
　トートロジーについて考える契機にはなりましたが、問題の本質はもうそこから離れています。
「世界のどこかの紛争は日本に影響する」と「すべての国際紛争は日本に無関係だ」が、否定の関係だというあたりの論争がきっかけです。平和を論じるのにも、論理学が関係していることの具体例です。頭の悪い人には平和や憲法を論じる資格はないようです。
　推敲中の答えに期待しています。