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トートロジーについて
poirot_catの回答
- poirot_cat
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トートロジーとは恒真式（常に１となる式）と訳されます。 例えば A∨￢A は，真理表で A ￢A A∨￢A 1 0 1 0 1 1 ですから，A∨￢Aをトートロジー（恒真式）と呼んでます。「証明できるとか」「証明できない」ではないです。 ところで，論理式A→Bは A→B≡￢A∨B・・・(1) のことで，(A,B)=(0，1)のときのみ0となる（(1)の右辺で真理表を書いてみてください）論理式です。 これを参考に， (A→B)∧(B→C)→(A→C)・・・(2) の真理表を作ってみてください。これはトートロジーではありません。 ではなぜ，という気になると思いますが 記号A⇒Bは一般にはAが真である場合です。 （→のときはAは真，偽いずれも考えるのですが，⇒は数学の証明でよく用いますが，仮定が「偽」は考える必要がありませんね） (2)を⇒にかえて (A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)・・・(3) とすると，(2)の真理表でA=B=1のときはすべて真です。 また，背理法は Q：A→B≡￢A∨B の否定命題 ￢Q≡A∧￢B（となります）が偽であることを言うと，命題は0，1いずれかですから，Qが１となる。という論法で，何かから導かれるというのとは，違うと思います。 ご質問の「導かれる」に近いのは，命題が同値（≡）ということでしょうか。 そのあたりを，整理して，仲直りしてください。
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補足
とりあえずご回答ありがとうございます。 --------------------------------------------------------------- 省略 >これを参考に， (A→B)∧(B→C)→(A→C)・・・(2) の真理表を作ってみてください。これはトートロジーではありません。 ではなぜ，という気になると思いますが 記号A⇒Bは一般にはAが真である場合です。 （→のときはAは真，偽いずれも考えるのですが，⇒は数学の証明でよく用いますが，仮定が「偽」は考える必要がありませんね） (2)を⇒にかえて (A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)・・・(3) とすると，(2)の真理表でA=B=1のときはすべて真です。 ---------------------------------------------------------------- 「ならば」をワープロ変換すると「⇒」になるために、条件文の意味で⇒を使っていました。→と区別しておりません。 という事で(2)式は真理値表でも論理式での展開でもトートロジーになります。長いので省略。 「証明」の私の使用言語の意味は、たとえば・・・ 『正三角形は二等辺三角形である』をA⇒Bとすれば、B⇒Aとは言えないという意味で使用しています。 古い本ですが石谷茂著『∀と∃に泣く』p71に、『「条件Pは真のときだけ考えればよいではないか」という反論があるがあるが、これは条件文に対する理解が不十分』に同意する者です。 ---------------------------------------------------------------- ＞また，背理法は Q：A→B≡￢A∨B の否定命題 ￢Q≡A∧￢B（となります）が偽であることを言うと，命題は0，1いずれかですから，Qが１となる。という論法で，何かから導かれるというのとは，違うと思います。 ---------------------------------------------------------------- ここには全く同感です。私と揉めている友人は・・・、 背理法とは、A⇒Bを証明するためには￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)のトートロジー性から￢(A⇒￢B)を証明すればよいという主張で、私は違うと言っています。この場合B⇒Aも証明できることになるからです。 --------------------------------------------------------------- >ご質問の「導かれる」に近いのは，命題が同値（≡）ということでしょうか。 そのあたりを，整理して，仲直りしてください。 ---------------------------------------------------------------- 「導かれる」「証明」は私の意味では同等で、同値式を証明できれば良い事にはなります。という事では￢(A⇒￢B)は(A⇒B)と同値でないので友人の説は違うと主張しています。 しかし、各論理学書にはトートロジーについて特殊性を待たせており前述の(2)式の３段論法はトートロジーであり、推論の根拠にもなるので質問いたしました。 追加でのご指導をお願いいたします。