論証の妥当性とトートロジーの関係（命題論理）

質問

A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、というのは、妥当という言葉の定義からして、

A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である。（結論がCで無くなるような場合、すなわち反例は存在しない）という事だ。

ここで、

（A1∧A2・・・）⇒C

という論理式を見てみる。この論理式がトートロジーになる場合というのは、真理値分析してみて、

（A1∧A2・・・）が真の時、Ｃがすべて真

になっていればよい。

そして（A1∧A2・・・）が真の時、というのは、

A1、A2、・・・がすべて真であるとき、

である。つまり、

A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真

という条件がそろえば、論理式（A1∧A2・・・）⇒Cはトートロジーである。

ここで、先ほどの、論証が妥当であるための条件、を見てみると、

A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である、

という風になっている。これはまさに、（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであるための条件である。

成り立つ条件が同じであるから、

A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当であれば、（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであり、
（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであれば、A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である。

といえる。

また、成り立つ条件が同じならば、論理的には同じ意味といってよいので、

A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、という事と、
（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーである、という事は、同じ事を意味している。

といえる。

かくして、論証の妥当性とトートロジーという概念がつながった。

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論証の妥当性とトートロジーの関係は、以上のようなもので、問題ないのでしょうか。
下から4行目、成り立つ条件が同じならば論理的には同じ意味になる、というところが、
なんとなく引っかかるのですが、そういうものなんでしょうか。

回答No.4

fishbowl66

ちょっと、的外しましたね、失礼しました。

トートロジーとは、原子式にどのような値を入れても常に結果が１となるような関数のことだそうです。

例えば、Ｐ∨￢Ｐという式を真理値分析してみると、次のようになります。

　P　 　￢Ｐ　 　Ｐ∨￢Ｐ　
　１ 　　０ 　　　　１
　０ 　　１ 　　　　１

仮に、Ｐを「マオは犬である」という命題であるとします。
すると、Ｐ∨￢Ｐは「マオは犬であるか、犬でないかのどちらかである」という命題になります。
このような命題はトートロジーですが、トートロジーは命題論理において「論理的真理」とされています。
しかし、ここで真理であるというのはトートロジーが世界の絶対的な真理について述べているからではなく、
逆に、世界の在り方について何も言及していないからに他なりません。
（慶応大学　論理学の基礎ページを参考）

「マオは犬であるか、犬でないかのどちらかである」
論理学では上記がトートロジーになるとの事ですが、ちょっと不思議ですね。

ただ、Ａ１・Ａ２・Ａ３・・・・Ａｎと続くと
「マオは犬であるか、犬でないかのどちらかである」「マオは猿であるか、猿でないかのどちらかである」・・
「マオは存在であるか、存在でないかのどちらかである」
Ａｎが無限に続くと、トートロジーが矛盾式にならないのかな？

勉強になりました。もう判らないから、これで勘弁してね（笑。

お礼

返答いただき、どうもありがとうございます。
論理学は難しいですね。

回答No.3

Piedpiping

どうもトートロジーの定義が違うような。
トートロジーとは論理式の要素が真であろうが偽であろうが、全体としては必ず真となる論理式をいいます。たとえば、

排中律（ｐ∪～ｐ）
「アメリカの大統領はクリントンか、あるいはクリントンでないかのいずれかである」

交換律（ｐ∪ｑ≡ｑ∪ｐ）

つまり、トートロジーの議論において、
＞A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、
ということ自体がナンセンスです。

お礼

お答えいただきありがとうございます。

補足

はて、Piedpipingさんは、原子式（論理式の要素）と前提A1、A2・・を同じものと捉えておられるのではないでしょうか。

上の質問の、（A1∧A2・・・）⇒Cという論理式のA1とかA2というのは、任意の論理式を意味しており、原子式（論理式の要素）とは限りません。

これをふまえまして上述の

「A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真になる。」
という条件がそろえば、（A1∧A2・・・）⇒Cはトートロジーである。

という部分をもっと細かく書きますと、

「（A1∧A2・・・）⇒Cという論理式を構成する原子式（論理式の要素）の真偽がどのようになろうとも、（前提をあらわす任意の論理式）A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真になる。」

という条件がそろえば、A1∧A2・・・）⇒Cはトートロジーである。

という事なのです。これなら別にナンセンスではないと思います。

回答No.2

koko_u_

ひとつの論理体系(例えばペアノの公理系)のようなものを考えた時に、トートロジーというのは「n = 1 -> n^2 = 1」のように、論理体系の「中の」ことがらです。

対して、論証の妥当性とはその論理体系(同じくペアノの公理系のようなもの)においてどのような推論を許すか(例えば三段論法はオーケー)という「外の」規定です。

論理体系にはいくつかの公理系があり、それらはいくつかのトートロジーから構成されていて、許された妥当な論証で得られる命題もまたトートロジーになることが要求されます。それが「妥当」の意味。

公理系から妥当な論証を経ても「全ての」トートロジーには辿り着けないというのがゲーデルの不完全性定理。

。。。。だったと思う。(急に弱気)

お礼

お答えいただきありがとうございます。

補足

残念ながら私にはよくわかりませんでした。上の質問は、命題論理においての話です。命題論理では、論証の妥当性とトートロジーは本質的に同じ概念だそうですが、その理解として、上のような理解の仕方であっているか、という質問でした。

回答No.1

fishbowl66

不思議な質問ですね。
単純に考えると、詭弁の一種でしょうか。

水素２と酸素１が有れば、水になる。

で、これを記号にすると

Ｈ×２＋Ｏ×１＝ＨＨＯ＝水
要素に分解すると、全て同じですから、トートロジーかも、

ただ、水素二つと、酸素一つが、独立に有れば、水とは違いますよね。
原因と結果の要素を同時に並べているだけで、過程を無視しているのかも。

＞また、成り立つ条件が同じならば、論理的には同じ意味といってよいので、

水は摂氏１００度で沸騰する。
この命題も、気圧の条件により、一気圧の下で真ですが、
条件が同じとは、ここでも、過程を無視している、
気圧は、９６０ミリバールから、１０２０ミリバールと常に変化している。

ちょっと、的外れかも、、失礼しました。
まぁ、誘い水と言う事で、お手柔らかに（笑。

お礼

お答えいただきありがとうございます。

補足

ちょっとよくわからなかったのですが、トートロジーという言葉の使い方が、私の理解と違うかもしれません。
また上の質問は、命題論理で、論証の妥当性とトートロジーは本質的に同じ概念だそうですが、その理解として、上のような理解の仕方であっているか、という事を聞きたかったのです。