- 締切済み
命題論理について
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
みんなの回答
- ninigi
- ベストアンサー率43% (10/23)
論理式ＡとＡ⇒Ｂの真理値がＴにしかならないならば論理式Ｂの真理値も必ずＴである、という事を証明できればいい訳ですね。 No1さんが書かれた真理値表の左３列を見れば、もう明らかでしょう。 ちゃんと証明の文章を書くと、背理法を使って次のようになると思います。 「論理式Ｂはトートロジーでないと仮定する。 このとき、Ｂの真理値がＦになる場合が存在する。 一方論理式Ａはトートロジーなので、真理値は常にＴである。 するとＡ⇒Ｂの真理値表より、ＡがＴでＢがＦならばＡ⇒Ｂの真理値はＦである。 これはＡ⇒Ｂがトートロジーであるという仮定に反する。 従って、論理式Ｂはトートロジーでなければならない。」
ともかく、真理値テーブルを。 A B A⇒B A∧(A⇒B) (A∧(A⇒B))⇒B -- -- ----- -------- ---------- T T T T T T F F F T F T T F T F F T F T (これで良いのでしょうか ?)
お礼
表にまでしていただき、ありがとうございました！
関連するQ&A
- 論理学の問題がわからなくて困っています。
大学で論理学の授業をとっているのですが、恥ずかしながら自分では理解できません。 そこで今回この場をもって質問させていただきます。 ○×でできれば答えていただきたいです。 １前提がすべて真の推論がみな妥当であるとは限らない。 ２偽の前提を含む推論はすべて非妥当である ３結論が真の推論はすべて妥当である ４結論が偽の推論はすべて非妥当である ５前提にトートロジーが含まれる推論はすべて妥当である ６結論がトートロジーの推論はすべて妥当である ７前提に真理関数的矛盾を含む推論はすべて非妥当である ８結論が真理関数的矛盾の推論はすべて非妥当である ９Ｓ１が真でＳ2が真なら＜￢ｓ１∧￢Ｓ２ ＞∨（Ｓ1∧￢Ｓ２）は偽である 長文失礼しました。 お時間があるときによかったら答えてください。
- 締切済み
- その他（学問・教育）
- 論証の妥当性とトートロジーの関係（命題論理）
A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、というのは、妥当という言葉の定義からして、 A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である。（結論がCで無くなるような場合、すなわち反例は存在しない）という事だ。 ここで、 （A1∧A2・・・）⇒C という論理式を見てみる。この論理式がトートロジーになる場合というのは、真理値分析してみて、 （A1∧A2・・・）が真の時、Ｃがすべて真 になっていればよい。 そして（A1∧A2・・・）が真の時、というのは、 A1、A2、・・・がすべて真であるとき、 である。つまり、 A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真 という条件がそろえば、論理式（A1∧A2・・・）⇒Cはトートロジーである。 ここで、先ほどの、論証が妥当であるための条件、を見てみると、 A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である、 という風になっている。これはまさに、（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであるための条件である。 成り立つ条件が同じであるから、 A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当であれば、（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであり、 （A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであれば、A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である。 といえる。 また、成り立つ条件が同じならば、論理的には同じ意味といってよいので、 A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、という事と、 （A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーである、という事は、同じ事を意味している。 といえる。 かくして、論証の妥当性とトートロジーという概念がつながった。 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 論証の妥当性とトートロジーの関係は、以上のようなもので、問題ないのでしょうか。 下から4行目、成り立つ条件が同じならば論理的には同じ意味になる、というところが、 なんとなく引っかかるのですが、そういうものなんでしょうか。
- 締切済み
- 哲学・倫理・宗教学
- 命題計算の或る形式的体系に関して
こんばんは。いま私は、松本和夫著「数理論理学」（共立出版）を勉強しているのですが、その中で理解出来ない部分があったので、質問させてください。 この本の中で、以下の様な諸公理と推論規則MPを定めて、そこで証明可能な論理式が全てトートロジーとなるような無矛盾な命題計算の体系Ｈｐを作るところがあります。 Ａ、Ｂ、Ｃを論理式、⇒を含意として 公理１ Ａ⇒（Ｂ⇒Ａ） 公理２ （Ａ⇒（Ｂ⇒Ｃ））⇒（（Ａ⇒Ｂ）⇒（Ａ⇒Ｃ）） 公理３ （￢Ｂ⇒￢Ａ）⇒（（￢Ｂ⇒Ａ）⇒Ｂ） 推論規則MP Ａ、Ａ⇒Ｂ |-B これ等の公理と推論規則から導かれる形式的体系Ｈｐでは演繹定理も成り立ちます。 さて本題の質問です。本書では、無矛盾な体系Ｈｐに於いて証明可能な論理式の一つとして次のものが挙げられています。 定理 ￢Ａ⇒（Ａ⇒Ｂ） 証明 (1)￢Ａ 仮定 (2)Ａ 仮定 (3)A⇒（￢Ｂ⇒Ａ）公理１ (4) ￢Ａ⇒（￢Ｂ⇒￢Ａ）公理１ (5)￢Ｂ⇒Ａ (2)と(3)にＭＰ (6)￢Ｂ⇒￢Ａ (1)と(4)にＭＰ (7)（￢Ｂ⇒￢Ａ）⇒（（￢Ｂ⇒Ａ） ⇒Ｂ）公理３ (8)（￢Ｂ⇒Ａ）⇒Ｂ (6)(7)にＭＰ (9)Ｂ (5)と(8)にＭＰ 故に ￢Ａ、Ａ｜－B これに演繹定理を２回用いて上の定理を得る。 ｑｅｄ 私が納得出来ないのはこの証明なのですが、最初に￢AとAが同時に成り立つと仮定していますよね。ですがＨｐは無矛盾なのだから、Hｐにおいて￢AとAとが共に成立することなどあり得ない筈です。よってこの証明は無意味だと思うのですが、どうでしょうか？ 随分ごたごたした記述で申し訳ありませんが、何卒ご回答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 論理学 命題文の推論についての質問です
「入門！論理学」～野矢茂樹著・中央公論新社 で論理学を 勉強しております。 推論の真偽を問う問題の解説として下記のように記載されて おりましたが、残念ながら理解できませんでした。 ここから引用＞＞ 手形は有価証券である。 小切手は手形ではない。 だから、小切手は有価証券ではない。 前提を認めて、その上で結論を否定してみてください。 手形は有価証券で、小切手は手形ではなくて、でも 小切手も有価証券である、そう書き並べて、これは 矛盾しているでしょうか。 手形も小切手も有価証券だけれども、手形と小切手は 違う。これは別に矛盾ではありません。有価証券にも いろいろあるんだなというだけのことです。ということは、 この前提を認めても結論を否定する余地があるという ことですから、この導出は絶対ではない。つまり、 演繹としては正しくない。そうなります。 逆に、前提を認めて結論を否定したときに矛盾になる 場合には、その導出は演繹としてた正しいと言えます。 演繹の正しさをチェックするやり方として、この「前提を 認めて結論を否定し矛盾になるかどうか調べる」という チェック法はかなり有効ですから、覚えておいてもよい でしょう。 ＜＜引用ここまで 理解できないのは、「前提を認めて否定する余地がある」 ということから、「この導出は絶対ではない」と言える理由が 解りません。 後述されていますが、どうやら 「前提を認めて結論を否定し矛盾になるかどうか調べる」 ということは重要なテクニックのようですが、既述の通り、 導出された文が絶対か否かの判断ができません。 お知恵を拝借くださいませ。
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
- 【論理学】同値式導入規則について
論理学を独学し始めた者です（「演繹定理」についても質問させて頂いております）。 テキストに記載されていた「同値式導入規則」について、具体例として 記載されていた内容が理解できません。 （使用テキスト：論理学入門～三浦俊彦 日本放送出版協会） まず、テキストの記載には、同規則については下記のようにありました。 主演算子が≡であるトートロジーの左辺と右辺は、任意の命題の中で 互いに置換可能である。A≡Bがトートロジーであるとき、真理関数的命題Cの 中に出てくるAをBで置き換えた命題をDとすると、CからDを推論してよい。 と書かれ、具体例として次のように記載されていました。 ￢(P∨Q)∧(P⊃￢R)から、「ド・モルガンの法則」を用いて、 (￢P∧￢Q)∧(P⊃￢R)を推論してよく、 さらに対偶律により、(￢P∧￢Q)∧(￢￢R⊃￢P)を推論してよく、 さらに、二重否定式により、(￢P∧￢Q)∧(R￢P)を推論してよい。 理解できない箇所は、同値式導入規則の定義で言われている 命題Cや、その中に出てくるAやBといった要素、更に命題Dが何を 指示しているのかが、上記の具体例から読み取れません。 ￢(P∨Q)∧(P⊃￢R)が、「ド・モルガンの法則」により、 (￢P∧￢Q)∧(P⊃￢R) に等しく、また、対偶律により、 (￢P∧￢Q)∧(￢￢R⊃￢P) に等しく、さらに二重否定式により、 (￢P∧￢Q)∧(R￢P) と等しいことは理解できるのですが、テキストの 文言から、指示語の対象内容が理解できません。 大変お恥ずかしい限りですが、お知恵の拝借をお願いいたします。
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
- 至急！論理学の問題で困ってます！
論理学の問題で困っています。 以下の推論の記号化を推論規則や置換規則を用いて妥当性の形式的証明を行いなさい。尚、構成的ディレンマを用いずに証明しなさい。 とあります。どなたか証明方法がわかるかたがいらっしゃいましたら、解答お願いします。 1A⊃(B・C) 2D⊃(B・E) ∴(A∨D)⊃[(B・C)∨(B・E)]
- 締切済み
- 恋愛相談
- 論理学、正しい演繹かどうか分かりません
野矢茂樹先生の新版論理トレーニングの課題演習で次のような問題がありました。 次の推論は、演繹として正しいか、誤っているか。誤っている場合はどうして誤りなのか説明せよ、というものです。番号は私がふりました。 あるクラスの学生について調べたところ、(1)倫理学をとっている学生は誰も論理学をとっていなかった。また、(2)哲学をとっている学生は全員論理学をとっていた。このことから、(3)倫理学をとっていない学生だけが哲学をとっている、と結論できる。 私の考えは、以下の通りで正しい演繹ではないとなりましたが、ベン図を書くと結論は正しいようです。書籍に解答が無く困っています。どなたかご教授お願いします。 倫理学をとっているをA、倫理学をとっていないをa、 論理学をとっているをB、論理学をとっていないをb、 哲学をとっているをC、哲学をとっていないをcとする。 (1)はA→b、(2)はC→B、これらを前提として(3)a→Cと結論できるかが問題となっている。(1)の対偶はB→aであるから、(2)と併せてC→aは成り立つ。a→CはC→aの逆であるため、正しい演繹とはいえない。
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
- 命題論理の真偽について
下記の文（問題数は２つ）の結論は、論理的に「偽」とのことですが、理由が解りません。 「したがって」以下が、前提である二つの文から導けないとのことですが、理解できません。 お知恵のある方、ご指導下さい。 （１） 手形は有価証券である。 小切手は手形ではない。 したがって、小切手は有価証券ではない。 （２） フグの肝臓にはテトロドトキシンが含まれている。 フグにはテトロドトキシン以外の毒は見出されていない。 したがって、肝臓を取り除いて食べれば、フグも安全である。
- ベストアンサー
- 弁護士
- トートロジーについて
(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)はトートロジーで、おなじみの３段論法の正しさを示します。 ところが￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)もトートロジーですが、￢(A⇒￢B)から(A⇒B)を証明できません。ある友人はこれが背理法の式だと言い出したので、こんな論争になりました。もしこの友人が正しいとすれば、￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)もトートロジーなので、同じ前提￢(A⇒￢B)からA⇒BとB⇒Aの両方が導かれます。 これはどう考えるべきなのでしょうか。トートロジーとは何を示すのでしょうか。これがもとで友人との関係がおかしくなっています。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
遅れてすいません。 ありがとうございます、非常に助かりました！！