- 締切済み
トートロジーについて
Caperの回答
- Caper
- ベストアンサー率33% (81/242)
●「 合成命題 」「 トートロジー 」「 導く 」という 3つ の言葉の意味を、私は次のように認識しています。 1)「 合成命題 」 命題 A, B, C, … などが ∧ や ∨ や → などの記号によって結ばれることによって、新たに生成される命題。 2)「 トートロジー ( もしくは、恒真命題 ) 」 命題 A, B, C, … などによって生成された合成命題のうち、A, B, C, … のそれぞれの真偽がどんなであろうとも、真であるような合成命題。 例) A∨￢A, (A∧B)→A, B→(A→B) など 3)「 α は β を導く ( もしくは、α は β を導出する、含意する <※> ) 」 命題 A, B, C, … などによって生成された 2つ の合成命題 α, β があって、α→β という合成命題が A, B, C, … のそれぞれの真偽にかかわらずつねに真であるということ。 α が β を導くときには、α⇒β と表記される <※> 。 まことに申しわけありませんが、「 α は β を導く、すなわち α⇒β 」ということとと、「 α→β はトートロジーである 」ということが同義であるのかどうか、私は詳しく知りません。 ただし、次の 2つ の Web ページ における記述によれば、同義であるように私は思います。まちがっているかもしれませんが … 。 http://www.ss.u-tokai.ac.jp/~ooya/Jugyou/Old/6KRonri/ronri03.pdf p.10 定理 3.1 (a) http://www.cs.miyazaki-u.ac.jp/~bisu/DIS/11/11.pdf p.3 推論 (inference) ( α が β を導くとき、すなわち α⇒β であるとき、「 α⇒β は有効な推論である 」と言うことがあるようです ) α が β を導くとは、すなわち α⇒β であるとは、「 α が真であるとき、β は必ず真となる 」ということであると、私は思います。( 上記の p.10 定理 3.1 (a) の直前に、そのことに触れた説明がなされているようです ) ● ((A→B)∧(B→C))→(A→C) という合成命題はトートロジーであると、私は思います。 そして、(A→B)∧(B→C) は A→C を導く、すなわち ((A→B)∧(B→C))⇒(A→C) であると言うことができると、私は思います。 ● 石谷茂 著「 ∀と∃に泣く 」( 1980年06月10日 9刷 ) という本が、私の手元にあります。背理法については、その本の中に記述される次の 2項目 などをご友人に読んでいただいてはいかがでしょうか。 p.72 第11章 p→q の否定は p→(q の否定) か p.82 第12章 条件文再論 上記の 第11章 に誤植ではないかと私が思う所がいくつかあります。あくまでもご参考までに。 p.78 上から 5行目 ( 下の添付画像をごらんください ) p.80 上から 7行目 これは (7) に似ているが … これは (5) に似ているが … p.80 下から 3行目 … (10) 全体を p とおけば (11) は … … (8) 全体を p とおけば (9) は … p.80 下から 1行目 … 述語とみて (10) を p(6) で … … 述語とみて (8) を p(6) で … p.81 上から 1行目 ( 下の添付画像をごらんください ) p.81 上から 8行目 … その 1つ を x とすると (12) は … その 1つ を x とすると (10) は p.81 下から 6行目 ( 下の添付画像をごらんください ) p.81 下から 5行目 ところが (12) の否定を (10) の否定にならって … ところが (10) の否定を (8) の否定にならって … p.81 下から 2行目 ( 下の添付画像をごらんください ) p.81 下から 1行目 となって (13) と合わない. … となって (11) と合わない. … ● <※> 1)「 含意する 」という言葉を用いるときの注意 命題を結ぶ記号 → に「 含意 」という呼び名があるようです。混同しないように注意する必要があるかもしれません。 2) → と ⇒ の使い分けについての注意 専門家の中には、この使い分けをしないかたもいらっしゃるようです。 http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~kouno/kougi/jr07_01.pdf p.2 を参照してください。 ● もっともらしく私は記述してまいりましたが、その内容の確かさについて私は自信が持てません。まちがっていましたら、ごめんなさい。
関連するQ&A
- トートロジーは真理ですか
ウィットゲンシュタインの前期思想に【トートロジーは真理である】と言うのがあります。 条件文の論理式で、(1)(A⇒B)∧(B⇒C)⇒(A⇒C)は、３段論法を示すトートロジーです。 (2)￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)と(3)￢(A⇒￢B)⇒(B⇒A)もトートロジーですが、(2)と(3)からはA⇒BやB⇒Aは￢(A⇒￢B)から、導いたり証明したりではきません。 A⇒Bの具体例を「正三角形は２等辺三角形である」とすれば、B⇒Aは「２等辺三角形は正三角形である」となり矛盾するからです。 ３段論法その他の場合は、トートロジーが真理を示し、この例の場合などでは、真理つまり正しい事実を示さないのは、哲学的な分野ではどのように考えるのでしょうか。
- 締切済み
- 哲学・倫理・宗教学
- 論証の妥当性とトートロジーの関係（命題論理）
A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、というのは、妥当という言葉の定義からして、 A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である。（結論がCで無くなるような場合、すなわち反例は存在しない）という事だ。 ここで、 （A1∧A2・・・）⇒C という論理式を見てみる。この論理式がトートロジーになる場合というのは、真理値分析してみて、 （A1∧A2・・・）が真の時、Ｃがすべて真 になっていればよい。 そして（A1∧A2・・・）が真の時、というのは、 A1、A2、・・・がすべて真であるとき、 である。つまり、 A1、A2、・・・がすべて真であるとき、Cがすべて真 という条件がそろえば、論理式（A1∧A2・・・）⇒Cはトートロジーである。 ここで、先ほどの、論証が妥当であるための条件、を見てみると、 A1、A2・・・という前提がすべて真であるとき、必ず結論Cも真である、 という風になっている。これはまさに、（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであるための条件である。 成り立つ条件が同じであるから、 A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当であれば、（A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであり、 （A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーであれば、A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である。 といえる。 また、成り立つ条件が同じならば、論理的には同じ意味といってよいので、 A1、A2・・・という前提からCという結論を導く論証が妥当である、という事と、 （A1∧A2・・・）⇒Cがトートロジーである、という事は、同じ事を意味している。 といえる。 かくして、論証の妥当性とトートロジーという概念がつながった。 ☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆☆ 論証の妥当性とトートロジーの関係は、以上のようなもので、問題ないのでしょうか。 下から4行目、成り立つ条件が同じならば論理的には同じ意味になる、というところが、 なんとなく引っかかるのですが、そういうものなんでしょうか。
- 締切済み
- 哲学・倫理・宗教学
- 背理法を用いての証明です。
背理法を用いての証明です。 「任意の実数a,b,cに対し、c＜a+b,b＜c+a,a＜b+cならば0＜a,0＜b,0＜cが成り立つ」を背理法を用いて証明する問題です。 私はc＞a+bとした時、c-b＞aから求めようとしたのですが、うまく求めることができません。アドバイスの程お願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 仮言三段論法なのか定言三段論法なのか教えて
http://100.yahoo.co.jp/detail/%E5%91%BD%E9%A1%8C%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6/に、 ＡならＢ Ａ ゆえにＢ という、伝統的論理学の時代に「仮言三段論法」とよばれた推論とありますが、これは定言三段論法ではないのでしょうか？ 下記のものが 仮言三段論法ではないのでしょうか？ ＡならＢであれば 且つ Ａであれば そのときはＢ
- ベストアンサー
- 哲学・倫理・宗教学
- 背理法について
「a^2+b^2=c^3ならば、a、b、cのうち少なくとも1つは偶数である」 (pならばq) という命題を証明するために背理法を使います。 すると 「a^2+b^2=c^3という条件のもとで a、b、cはすべて奇数である」(pかつ￢q)と仮定することになると思います。 この仮定に矛盾が生じれば背理法が成立しますが この仮定に矛盾が生じるのは 「a,b,cが全て奇数ならば a^2+b^2=c^3 ではない」 (￢qならば￢p)が証明されたときだけなのでしょうか？ まだ論理について勉強しはじめたばかりで記号があまり理解できないので 記号は使わずに説明していただけると助かります。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ４つの文字の連立方程式が解けない
もともとは行列の成分比較の問題なのですが、 その過程における４文字の連立方程式が解けないです。 a2乗＋bd＝１・・・(1) b(a＋d)＝０・・・(2) c(a＋d)＝０・・・(3) bc＋d2乗＝４・・・(4) 自分としては(2)と(3)から、b＝c＝０かa＋d＝０のどちらかになるとわかっていて、 結論としては、a＝±１ b＝c＝０ ｄ＝±２になると解答にかいてあったのですが, どうして、a＋ｄ＝０だとこの式が成り立たなくなるのかが証明できません。 解答には証明が載っていませんでした。 背理法とかを用いて証明すればよいと思うのですが、 どなたかどうしてa＋ｄ＝０だとこの式が成り立たなくなるのかを証明してください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 背理法の用い方
背理法の用い方について質問があります。 たとえば、教科書に載っている問題で考えると、a,b,cを自然数とするとき、a二乗+b二乗＝c二乗ならば、a,b,c,の少なくとも１つは偶数であることを背理法で証明せよ。とあります。 しかし、これの解答をみると、 a,b,cすべてを奇数と仮定すると、a二乗,b二乗,c二乗はすべて奇数になるので、左辺と右辺で矛盾するとあります。 ですが、これって仮定した結論を先にもちいてませんか？ たとえば、普通の証明なら、AならばBとあったら、Aにある事柄だけをもちいてBを証明すると思うのですが、背理法の場合は、結論をもちいて矛盾を証明してもよいのでしょうか？ わかりにくい文章ですみませんが、ご返答お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
補足
皆様、御忙しい中を即ご回答いただきありがとうございます 。 途中省略 >● 石谷茂 著「 ∀と∃に泣く 」( 1980年06月10日 9刷 ) という本が、私の手元にあります。背理法については、その本の中に記述される次の 2項目 などをご友人に読んでいただいてはいかがでしょうか ---------------------------------------------------------------------- 実はこの本を見つけたのもこの友人との論争途中でした。 元々は憲法第９条の論争で、延々とメールで遠距離討論をしていました。 憲法論争の私の論点は「背理法」という、間接的で卑怯な方法であるとのことから、彼は「背理法」の広辞苑の定義から批判してきました。言葉だけではなく、彼も数学が得意で趣味との事から、A⇒Bという命題を証明するときに背理法ではと・・・始めました。私は尤も多く用いられるのは￢Bから出発し、￢Aに至り￢B⇒￢Aとして得られたものから、その対偶としてA⇒Bを証明するとしたのです。この説の正しさは機会があれば記述しますが・・・ ところがインターネットも含んで、「背理法」と対偶は違うという説が多いので、それを背景に反論し￢(A⇒￢B)を言えば(A⇒B)が￢(A⇒￢B)⇒(A⇒B)のトートロジ性から出るものである、としてきました。 延々４年越しの論争です。そこで彼の誤解がA⇒Bの否定がA⇒￢Bと思い込んでいるらしいと感じ、偶然石谷茂さんの本を見つけて購入し、その本の紹介とともに第１１章「p⇒qの否定はp⇒￢qか」のコピーまで送りました。 ところがこの本には誤植も多く(誤植の訂正を出版社に送ったら複雑系の本を贈呈されましたが)、石谷さんももう現役でないのでか、その論旨を理解しようとせず、決裂しています。 従ってこの欄に投稿する時にも「哲学」欄がいいのか迷いましたが、記号論理として「数学」に投稿したのです。 トートロジーは「真理」を表すものと言う説は、哲学者ウイットゲンシュタインの前期の思想でもあります。それ以来私にとっては、トートロジーが重要な未解決課題として残っております。 もしその他のご見解がありましたらご教授下さい。