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線形空間についての質問です
(1)数列の一般項a_nについて 「a_n∈Vならばlima_nが存在し、その収束値をαとするとα∈V」となるような空間Vについて a_n,b_n∈Vのとき lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)∈V lim(k・a_n)=k・lim(a_n)∈V Vは数0を零元としてもち、-a_nを逆元として持つ などよりVは実線形空間である (2)収束しないa_nを並べた集合、つまり数列{a_n}={a_1, a_2, ・・・}全体の集合をVとする。ここでA=V∪{{0,0,0,・・・・}}とする。 (つまり上で定めたような数列{a_n}と数列{0,0,0,・・・・}を元としてもつ空間をAとする) このとき{a_n}{b_n}∈Aについて {a_n+b_n}={a_n}+{b_n} {k・a_n}=k{a_n}=k{a_1, a_2, ・・・}と定義したとき、Aは線形空間となる。 (なぜなら、和やスカラー倍がうまく定義できており、 Aは零元{0,0,0,・・・}と逆元{-a_n}={-a_1,-a_2,・・・}を持つから。) (3)実数列{x[n]}={x[0], x[1], x[2], ・・・}について、相並ぶk+1項のあいだに、 x[n+k]+a[k-1]x[n+k-1]+・・・a[1]x[n+1]+a[0]x[n]=0 なる関係、つまり漸化式が成立するようなもの全体の集合Aは実線形空間となる。 なぜなら{x[n]}{y[n]}∈Aについて {x[n]}+{y[n]}={x[n]+y[n]}={x[0]+y[0],x[1]+y[1],・・・} {k・x[n]}=k{x[n]}=k{x[0],x[1],・・・}と定義すれば Aにおいて和やスカラー倍がうまく定義できており 実数列全体の集合Vにおける零元{0}={0,0,0,・・・}は与えられた漸化式を満たすので{0}∈A 同様にVにおける逆元{-x[n]}={-x[0],-x[1],・・・}は、与えられた漸化式を満たすので{-x[n]}∈A などによりAは実線形空間である この(1)(2)(3)の主張、自分で考えてみたのですが、正しいでしょうか? 添削よろしくお願いしますm(_ _)m
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お礼
回答ありがとうございます! この回答をいただいた後もいろいろと考えてみました。 偶数を無限個ならべることに関しては、正直まだ納得いっていない状態です・・汗 ですが、私はまだ学習が足りないのは明らかですので、もう少し考えてみることにします。 途中から本題とずれていたような気がしますが、回答していただきありがとうございました。 今回の質問はこれで締切りますが、また質問をみかけたら、ぜひご意見お聞かせくださいm(_ _)m