線形独立の証明について

質問

「線形独立なベクトルの集合Vの部分集合Wのベクトルも、線形独立の集合であることを証明せよ」

この問についての解答のご指摘をお願いしたいです。

【解答】
WがVの部分集合であるための条件は、
v_x+v_y∈W
av_x∈W　a∈R

Vは線形独立なベクトルの集合であるので、
a_1*v_1+a_2*v_2+…+a_n*v_n = 0
a_1,a_2,…,a_n = 0

従って、条件をみたすので、Vの部分集合Wのベクトルは全て線形独立である

この様に証明しました。
おそらく、間違っていると思うので、ご指摘をよろしくおねがいします。

回答No.6

26803TT519 · ベストアンサー

補足してくださって, ありがとうございます.
状況をまとめると, こういうことですね.

V は有限次元実ベクトル空間,
S = {v_1, v_2, ..., v_n} ⊂ V で,
v_1, v_2, ..., v_n は線型独立とする.
また, T = {w_1, w_2, ..., w_m} ⊂ S とし, さらに,
{w_1, w_2, ..., w_m, u_1, u_2, ..., u_r} = S
であるとする.
当然, 以下のことが成り立つ.
n ≦ dimV ＜ ∞, 1 ≦ m ≦ n, m + r = n

最新の解答は飛躍的に改善されましたが, 質問者様が相変わらず勘違いしているのは,
w_1 = v_1, w_2 = v_2, ..., w_m = v_m
という決め付けです.
例えば, {x, y, z} = {a, b, c} のとき, x = a, y = b, z = c と断定できるでしょうか.
{1, 2, 3} = {2, 3, 1} と書いても, 別に間違いではありません.

真っ先に,
(a_1)w_1 + (a_2)w_2 + ... + (a_m)w_m = 0 とする
と書いたのは, 大きな進歩です.
せっかくだから,
a_1, a_2, ..., a_m ∈ R
であることを, 付け足しておきましょう.
その続きは,
このとき, (a_1)w_1 + (a_2)w_2 + ... + (a_m)w_m + 0u_1 + 0u_2 + ... + 0u_r = 0 であり,
w_1, w_2, ..., w_m, u_1, u_2, ..., u_r が線型独立であるから,
a_1 = a_2 = ... = a_m = 0 がいえる.
よって, w_1, w_2, ..., w_m は線型独立である.

まだまだ, 書き方に改善の余地はあると思いますが, 流れはこんな感じです.

お礼

訂正ありがとうございました！

おかげで、完全に理解することができました。

確かに、w_1+... = v_1+...としたのは、かなり不安な部分でしたので、ものすごくスッキリしました。

序盤は「集合」と「空間」の区別もついておらず、かなり戸惑っていましたが、無事に理解することが出来ました。

お付き合いいただき、ありがとうございました。

回答No.5

26803TT519

＞有限次元実ベクトルV
有限次元実ベクトル空間 V, という意味でしょうか.
もっと早く指摘しておくべきでしたが, V は決してベクトル空間（線型空間）にはなりません.
その理由を, 考えてみてください.
この線型空間の名前は, V ではなく L とします.

＞{v_1,v_2,...,v_n}∈V
この書き方は誤りです.
v_1, v_2, ..., v_n ∈ V, なら正しいのですが, それだと,
{v_1, v_2, ..., v_n} ⊂ V, と解釈されるので,
V = {v_1, v_2, ..., v_n} とする, と, はっきり書くべきでしょう.

重大な間違いとして,
W = {w_1, w_2, ..., w_m} ⊂ V, と仮定しましたが, n = m + 1 と決め付けることはできません.
W ⊂ V より, m ≦ n がいえるだけです.

＞仮定より、
＞a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n=0
＞a_1,a_2,...,a_n=0
これを先に書いてしまうと, 後が続かなくなります.
直前に練習した「x, y, z が線型独立のとき, x, y は線型独立である」の証明を思い出してください.

ある程度の時間を頂ければ, 追加のヒントを出します.

補足

度々申し訳ありません。
問題文をきちんと載せていなかったため、回答者様を混乱させていました。

原文のまま問題を載せましたが、所々削っておりました。

今度こそ、そのまま載せます。

有限次元実ベクトル空間の零ベクトルを0とおく。ベクトルの非空な集合は{v1,v2,...,vn}とする。

Vを任意の有限次元実ベクトル空間とすれば、Vの任意の線形独立なベクトルの集合は有限集合である。

この時、「Vの線形独立なベクトルの集合の任意の部分集合は、また線形独立なベクトルの集合」である命題を証明せよ

これを踏まえ、もう一度訂正した解答を掲載させていただきます。

線形独立なベクトルの集合
{v1,v2,v3,...,vn}⊆Vより、

線形独立なベクトルの集合の任意の部分集合を
{w1,w2,...,wm}⊆V　(n≧m)
とする。

ここで、
a1w1 + a2w2 + ... + amwm = 0
とし、
am+1,am+2,...,an = 0とすると、

a1v1 + a2v2 + ... + anvn = 0が成り立つ。

{v1,v2,...,vn}は、線形独立な集合なので、
a1 = a2 = ... = an = 0となる。

従って、
a1 = a2 = ... = am = 0であるので、

線形独立なベクトルの集合の任意の部分集合は、線形独立である。

証明終了です。

確認をよろしくお願いします。

回答No.4

26803TT519

＞こんな解釈で大丈夫でしょうか？
はい, 完璧に理解しておられます.
1. ～ 5. に書かれている内容は, すべて正しく, 証明の流れをきちんと把握できています.
自信をもって, W の元 w_1, w_2, ..., w_m が線型独立であることの証明を完成させてください.
御希望であれば, 完成した証明を添削いたします.

補足

ご確認ありがとうございました！ようやく理解できた気がします。
それでは、本題の方の証明を記述いたします。

「有限次元実ベクトルVの線形独立なベクトル集合の任意の部分集合は、また線形独立なベクトルの集合であることを証明せよ」

まず、Vの線形独立なベクトルの集合の任意の部分集合をWとする。
{v_1,v_2,...,v_n}∈V
{w_1,w_2,...w_m}⊆V
n=m+1とする。

仮定より、
a_1v_1+a_2v_2+...+a_nv_n=0
a_1,a_2,...,a_n=0

ここで、
b_1w_1+b_2w_2+...+b_mw_m=0とする。
b_m+1 = 0とすると、

b_1v_1+b_2v_2+...+b_m+1v_n=0が成り立つ。
{v_1,v_2,...,v_n}は線形独立なので、
b_1,b_2,...,b_m+1=0
よって、
b_1,b_2,...,b_m=0であるので、
部分集合{w_1,w_2,...,w_m}は線形独立である。

少し、怪しいかもしれませんが、添削よろしくおねがいします。

回答No.3

26803TT519

証明を書いてくださって, ありがとうございます.
しかし, 残念ながら, 点数を付けるとしたら 0 点です.

x, y, z が線型独立であることより,
(a_1)x + (a_2)y + (a_3)z = 0 ならば a_1 = a_2 = a_3 = 0
は正しいのですが,
(a_1)x + (a_2)y = 0 という等式を書いて,
a_1 = a_2 = 0 であるから, x, y は線型独立である, と主張することはできません.
0x + 0y = 0 が成り立つのは当然で, それは, x, y が線型従属の場合でも成り立ちます.

x, y が線型独立であることを証明するのですから,
まず ax + by = 0 とおき, そこから a = b = 0 を導きます.
c = 0 とすると, ax + by + cz = 0 が成り立ちますが,
ax + by + cz は x, y, z の線型結合で, これが 0 に等しく, さらに x, y, z が線型独立であることより,
a = b = c = 0 がいえます.
c = 0 は最初から分かっていましたが, 重要なのは a = b = 0 が得られたことで, これより, x, y が線型独立であることが証明できました.

この考え方を使えば, W の元 w_1, w_2, ..., w_m が線型独立であることも, 容易に証明できます.

補足

繰り返し、ご回答ありがとうございます。

仰られた事があまり理解できていない気がするので、手順を追って確認させてください。

１．x,y,zの組み合わせは、線形独立とわかっているが、x,yの組み合わせでは、まだ線形独立と分かっていない
２．ax+by=0---(1)とおく
３．ここで、c=0とおくと、ax+by+cz=0が成り立つ（式(1)ax+by+0=0から導いた？）
４．x,y,zの組み合わせは、線形独立なので、ここでa=b=c=0が成り立つ
５．４より、a=b=0なので、x,yは線形独立

こんな解釈で大丈夫でしょうか？

回答No.2

26803TT519

ANo.1 に私が書いたとおりの問題なら, 証明は「明らか」で終了です.
本当は, こういう問題じゃないですか.

V = {v_1, v_2, ..., v_n} で, v_1, v_2, ..., v_n は線型独立とする.
W = {w_1, w_2, ..., w_m} が V の部分集合であるとき, w_1, w_2, ..., w_m が線型独立であることを証明せよ.

この証明も非常に簡単です.
ヒントとして, まず, 以下の命題を証明してみてください.
[命題] x, y, z が線型独立のとき, x, y は線型独立である.

あと, 質問者様は部分集合と部分空間を混同しています.
また, 証明の書き方が雑で, 採点者に読んでもらうというより, 読みたければ勝手に読め, と解釈されかねない書き方になっています.
上の [命題] を証明する際は, なるべく丁寧に書いてください.

補足

回答者様

ありがとうございます。
色々と深く考え過ぎていた上に、部分空間と部分集合すらも曖昧になっていました。

以下、回答者様から出された命題の証明を致します。

x,y,zは、線形独立であるので、
a1x+a2y+a3z=0(零ベクトル)
(aは任意の実数)

この時、a1,a2,a3のうち、少なくとも非零である実数が存在した場合、x,y,zは線形従属である。

しかし、最初の仮定に矛盾してしまうため、
a1,a2,a3=0である。

したがって、部分集合であるx,yにおいて、
a1x+a2y=0
の時、a1,a2=0なので、
x,yは線形独立であることが証明された。

回答No.1

26803TT519

証明したいことは, 要するに, 以下のことでしょうか.
違っていたら, 訂正してください.

実数体 R 上の線型空間 L があり, V は L の空集合でない部分集合であって, V の元を任意に有限個取ると, それらは R 上線型独立である.
また, W を V の空集合でない任意の部分集合とする.
このとき, W の元を任意に有限個取ると, それらは R 上線型独立である.

補足

R,Lについては、私が解答の際に突然出したものですので、R,Lに関しては問題には出されていません。

私の読解力が正しければ、おそらく回答者様の仰るとおりだと思います。

「有限次元実ベクトルVの線形独立なベクトル集合の任意の部分集合は、また線形独立なベクトルの集合である」ことを証明せよ。

著作物の問題内容を質問しているので、特定されないように問題文を改ざんしましたが、私の伝達力が足りなかったようなので、補足欄にてほぼ原文のままで記述致しました。

よろしくおねがいします。