線形空間についての質問です

質問

(1)数列の一般項a_nについて
「a_n∈Ｖならばlima_nが存在し、その収束値をαとするとα∈Ｖ」となるような空間Ｖについて
a_n,b_n∈Ｖのとき　
lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)∈Ｖ
lim(k・a_n)=k・lim(a_n)∈Ｖ
Ｖは数０を零元としてもち、-a_nを逆元として持つ　　　
などよりＶは実線形空間である

(2)収束しないa_nを並べた集合、つまり数列{a_n}={a_1, a_2, ・・・}全体の集合をＶとする。ここでＡ=V∪{{0,0,0,・・・・}}とする。
（つまり上で定めたような数列{a_n}と数列{0,0,0,・・・・}を元としてもつ空間をＡとする）
このとき{a_n}{b_n}∈Ａについて
{a_n+b_n}={a_n}+{b_n} {k・a_n}=k{a_n}=k{a_1, a_2, ・・・}と定義したとき、Ａは線形空間となる。
(なぜなら、和やスカラー倍がうまく定義できており、
Ａは零元{0,0,0,・・・}と逆元{-a_n}={-a_1,-a_2,・・・}を持つから。)

(3)実数列{x[n]}={x[0], x[1], x[2], ・・・}について、相並ぶk+1項のあいだに、
x[n+k]+a[k-1]x[n+k-1]+・・・a[1]x[n+1]+a[0]x[n]=0
なる関係、つまり漸化式が成立するようなもの全体の集合Ａは実線形空間となる。
なぜなら{x[n]}{y[n]}∈Ａについて
{x[n]}+{y[n]}={x[n]+y[n]}={x[0]+y[0],x[1]+y[1],・・・}
{k・x[n]}=k{x[n]}=k{x[0],x[1],・・・}と定義すれば
Ａにおいて和やスカラー倍がうまく定義できており
実数列全体の集合Ｖにおける零元{0}={0,0,0,・・・}は与えられた漸化式を満たすので{0}∈Ａ
同様にＶにおける逆元{-x[n]}={-x[0],-x[1],・・・}は、与えられた漸化式を満たすので{-x[n]}∈Ａ
などによりＡは実線形空間である

この(1)(2)(3)の主張、自分で考えてみたのですが、正しいでしょうか？
添削よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.4

arrysthmia

あぁ…　No.3 は酷い。寝ぼけていたとしか…
済みません。訂正です。

ひとつ目の話は、例えば、
線型漸化式 x[n+2] - 3 x[n+1] + 2 x[n] = 0 を満たす x[n] の全体を Ａ
とすると、Ａ は線型空間になる　ということです。
この例の場合、{ 1, 2^n } が Ａ の基底の一例になります。

ふたつ目、みっつ目の話は、例えば、
x[n] = 1^n + 2^n は、線型漸化式 x[n+2] - 3 x[n+1] + 2 x[n] = 0 を満たし、
y[n] = 1^n + (-1)^n は、線型漸化式 y[n+2] - y[n] = 0 を満たしますが、
その和、z[n] = x[n] + y[n] = 2 + 2^n + (-1)^n が満たす定係数線型漸化式は
z[n+3] - 2 z[n+2] - z[n+1] + 2 z[n] = 0 であって、それより低次にはなりません。

何らかの定係数線型漸化式を満たす数列の全体を Ａ とするなら、
z[n] ∈ Ａ であって、Ａ は線型空間になりますが、
２次の定係数線型漸化式を満たす数列の全体を Ａ とするなら、
z[n] ∈ Ａ ではありません。
漸化式の次数 k を限定するとか、しないとかいうのは、そういう意味です。

お礼

arrysthmiaさん何度も回答していただき本当にありがとうございます！

最初のやつは、わかりました。
あの例なら高校生が解けるレベルの漸化式で助かります・・笑
あの漸化式を満たす数列{x_n}の一般項x_nは
x_n=(2x_0-x_1)・1+(x_1-x_0)・2^nより基底は{1,2^n}であり、線形空間になるのもわかります。

２つ目もわかりやすい例で、納得できました。
一般にどうか？ってのはわかりませんが、それは私にはまだ早すぎるかもしれません・・。