線形空間についての質問です

質問

(1)数列の一般項a_nについて
「a_n∈Ｖならばlima_nが存在し、その収束値をαとするとα∈Ｖ」となるような空間Ｖについて
a_n,b_n∈Ｖのとき　
lim(a_n+b_n)=lim(a_n)+lim(b_n)∈Ｖ
lim(k・a_n)=k・lim(a_n)∈Ｖ
Ｖは数０を零元としてもち、-a_nを逆元として持つ　　　
などよりＶは実線形空間である

(2)収束しないa_nを並べた集合、つまり数列{a_n}={a_1, a_2, ・・・}全体の集合をＶとする。ここでＡ=V∪{{0,0,0,・・・・}}とする。
（つまり上で定めたような数列{a_n}と数列{0,0,0,・・・・}を元としてもつ空間をＡとする）
このとき{a_n}{b_n}∈Ａについて
{a_n+b_n}={a_n}+{b_n} {k・a_n}=k{a_n}=k{a_1, a_2, ・・・}と定義したとき、Ａは線形空間となる。
(なぜなら、和やスカラー倍がうまく定義できており、
Ａは零元{0,0,0,・・・}と逆元{-a_n}={-a_1,-a_2,・・・}を持つから。)

(3)実数列{x[n]}={x[0], x[1], x[2], ・・・}について、相並ぶk+1項のあいだに、
x[n+k]+a[k-1]x[n+k-1]+・・・a[1]x[n+1]+a[0]x[n]=0
なる関係、つまり漸化式が成立するようなもの全体の集合Ａは実線形空間となる。
なぜなら{x[n]}{y[n]}∈Ａについて
{x[n]}+{y[n]}={x[n]+y[n]}={x[0]+y[0],x[1]+y[1],・・・}
{k・x[n]}=k{x[n]}=k{x[0],x[1],・・・}と定義すれば
Ａにおいて和やスカラー倍がうまく定義できており
実数列全体の集合Ｖにおける零元{0}={0,0,0,・・・}は与えられた漸化式を満たすので{0}∈Ａ
同様にＶにおける逆元{-x[n]}={-x[0],-x[1],・・・}は、与えられた漸化式を満たすので{-x[n]}∈Ａ
などによりＡは実線形空間である

この(1)(2)(3)の主張、自分で考えてみたのですが、正しいでしょうか？
添削よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.5

motari

質問内容に対する直接の解答ではありませんが、"数列"という表現が理解を妨げているように思われるので、参考程度に書かせていただきます。

この場合、"数列"ではなく"数の組"と考えるべきです。

(a1,a2,...,an)の各成分ごとの加算減法が自由なら、
このようなもの全体の間でも加算減法が自由ですよね？
(a1,a2,...,an,...,a∞)のように無限個の場合も、各成分ごとの加算減法が自由なら、
このようなもの全体の間でも加算減法が自由です。

"収束する数列"は"無限個の数の組"をあらわしますが、
"収束しない数列"はそうではありません。
例えば実数列で考えると、収束列のa∞は実数なので加算減法が自由ですが、収束しない列のa∞は発散するか存在しないかで、いずれにせよ実数ではないので加算減法も自由ではありません。

単に"無限個の数の組"といえばいいところをわざわざ数列で表現しているだけのことです。
このように考えれば疑問は解消されるのではないかと思います。

ただし、"無限個"というものをキチンと取り扱うには"有限個"の場合の類似では不十分なので、やはりlimという極限の概念が登場してくることになります。

お礼

>これが納得いかないということです。あえて言うなら
>"収束しない数列"は"Ｗでは"そうではありません。
>とするべきではないでしょうか
（↑訂正）
数列＝無限個の数の組（並び）であって、
収束する数列＝無限個の数の組（並び）ではない
と考えます。

補足

motariさん、前回の私の質問に引き続き、こちらでも回答していただき本当にありがとうございます！感謝です。

私は理解力が乏しいので回答文を何十回も読ませていただきました。
以下、それに対する私の考えです。

＞"収束する数列"は"無限個の数の組"をあらわしますが、
　"収束しない数列"はそうではありません。
ここが一番気になるところです。

数列とは単に、無限個の数の組であるのなら
一般項が収束しない数列{x_n}={1,2,3,・・・n,n+1,・・・・・}も
一般項が収束する数列{y_n}={1,1/2,1/3,・・・1/n,1/(1+n),・・・・}
も実数列ですよね？
ここでのx_∞はたしかに発散するから実数ではないし、x_∞＋１や3-x_∞などといった加算減法も自由でない。でもそれは、収束しない数列が無限個の数の組でないことにはならないと思いました。

前回の質問文のなかで、
「実数列全体の集合は実線形空間である。また、収束する数列だけを考えれば、解析学での周知の定理により再び実線形空間が得られる」ということを書きました。私はさらに、「実数列の全体が実線形空間であることの証明に関しては、数列の一般項の収束発散は問題ではない」のようなことを書きました。（多少違いはありますが・・。）

実数列全体Ｖが実線形空間であることの証明をするときには、まず、
Vの元{x_n}{y_n}に関して和とスカラー倍が定義できていないといけませんが、ここでは、
和を{x_n}+{y_n}={x_0+y_0,x_1+y_1,・・・・}
スカラー倍をk{x_n}={kx_0,kx_1,・・・}としました。
この決め方なら和もスカラー倍もともに"無限個の数の組"であるからＶの元でありＯＫです。ここで私が強調したいのは、
"x_∞が収束するのか発散するのかは、実数列全体Ｖという舞台においてはまったく問題にしていない"ということです。和やスカラー倍が再びＶの元となっている為には、単に和やスカラー倍したものが無限個の数の組、つまり無限個の数を並べたものでありさえすればいい。x_∞の行先は問題ではないと思います。

しかし、実数列全体Ｖのなかで、特に収束する数列全体Ｗだけを考えるとなると話は違います。Ｗが実線形空間であることの証明にはＶのときと違って、x_∞が収束するかどうか(limの概念)がとても重要になってきます。以下その理由です。

Ｗの２元{a_n}{b_n}をとってきたとします。
今、Ｗという舞台から元を持ってきたのですから、lima_n、limb_nともに収束しています。ここで、Ｗにおける和とスカラー倍の定義をＶのときと同じにした。
まさにこの時に、解析学で周知の定理、つまり（おそらくですが）「lim(x_n),lim(y_n)が存在するならば、lim(x_n+y_n)=lim(x_n)+lim(y_n)、さらにklim(x_n)=lim(kx_n)が成立する」という事実が和やスカラー倍の定義を正当化するための道具となります。
つまりＷにおいてはＶと違いlimの概念が実線形空間であることの証明に際して必要となる。

長文になってしまいましたが、私が言いたいことは、
実数列全体Ｖにおいては、limという極限の概念は重要ではない。
でも収束する数列全体Ｗにおいてはその概念は重要である。
おなじ数列という、無限個の数の組（並び）を扱うにしても、limの概念は必要なときもあるし不必要なこともあるのでは？ということです。

なんかわけのわからないものになったかもしれませんね。本当にすいません。簡潔に言うと
>"収束する数列"は"無限個の数の組"をあらわしますが、
>"収束しない数列"はそうではありません。

これが納得いかないということです。あえて言うなら
"収束しない数列"は"Ｗでは"そうではありません。
とするべきではないでしょうか？

あともう少しで理解できそうな気がします。
どうか回答よろしくお願いいたしますm(_ _)m

他の方もぜひご意見お聞かせください。
このままあやふやにしたくないので・・。