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線形空間についての質問です
arrysthmiaの回答
- arrysthmia
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(1) Ｖが数列空間なのだか、数列の値域なのだかが、混乱してるような気がします。 「a_n,b_n∈Ｖ」は、数列 a_n 自体が Ｖ の元という意味ですか？ a_n の各項が Ｖ の元という意味ですか？ 数列 a_n 自体が Ｖ の元という意味であれば、 lim(a_n)+lim(b_n)∈Ｖ や k・lim(a_n)∈Ｖ という式は、意味をなしません。 a_n の各項が Ｖ の元という意味であれば、 「a_n∈Ｖならばlim a_nが存在し」が成り立つような Ｖ は、１個の元からなる集合です。 そのような Ｖ の上に、加法と実数倍が定義されているとすれば、それらの演算結果は 全て共通に Ｖ の唯一の元ということになって、Ｖ は、0 次元実ベクトル空間 { 0 } と同型です。 (2) 「収束しないa_nを並べた集合」だけでは、どんな集合の元をならべた数列のうち 収束しないものを考えているのだか判りませんが… とりあえず、実数列のうち収束しないもの全体の集合を Ｖ としましょう。 Ｖ に零ベクトルを付け加えただけでは、Ａ は加法閉になりません。 収束しない数列 a_n と、収束する数列 c_n を持ってきて b_n = c_n - a_n と置くと、 a_n も b_n も収束しませんが、a_n + b_n は収束してしまいます。 (スカラー倍には、問題がないように思います。) (3) これも、状況がいまひとつ判りにくいのですが… これは、実線型空間でよいと思います。 Ａ の漸化式が各元 { x[n] } で共通ということであれば、 それは、よく知られた「線型差分方程式の解空間」というものです。 { x[n] } ごとに対応する漸化式が存在する… という意味であったとしても、 漸化式の次数 k を限定しないなら、Ａ は線型空間になります。 漸化式は { x[n] } ごとに異なるが、その次数 k は共通ということであれば、 ダメです。 その場合は、加法閉になりません。
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