虚数は存在するか？

質問

虚数は存在するのでしょうか？しないのでしょうか？

私の個人的なイメージでは
「２乗して-1になる数なので、実世界上の具体例としては存在しないけれども、複素平面上には存在する数」
なんです。
このように考えて、「虚数は存在する」と、とらえることはできませんか？

虚数を定義した人は、なんと言っているのでしょうか？

回答No.1

7772 · ベストアンサー

かなり昔に得た知識なので詳細は定かではありませんが、
虚数は「存在する」ようです。
もっとも、「極小の世界で考えると」と言う注釈がつきます。

専攻が数学ではないので、「虚数　波動関数」などで調べてみてください。

回答No.14

sanori

＃１１の回答者です。
回答文中、１番では、変なことを言っていたかもしれません。
その部分は、とりあえず、無視してください。
失礼しました。

回答No.13

arrysthmia

日常生活で、虚数を見かける例を一つ…

時計の文字盤に、軸を原点とし、３時方向を実軸、１２時方向を虚軸とする座標系を置く。
秒針の長さを r とすると、秒針先端の位置は、r e^(-ikt) で表される。
i は虚数単位。k は定数で、t の単位が [秒] であれば、k = 2π/60 [秒^-1]。

見たことない？

回答No.12

quaRk-6

「存在する」とはどういうことか…
この疑問に辿り着く、ということは否めません。

しかし、「存在しないけどしかたなく使っている」と考えられていたのはもう過去の話だ、ということははっきり言えます。
もともと、「自然数」しか「存在しない」と考えられていた時代があり、「分数」「０」「負の整数」「有理数」「代数的数(n次方程式の解になるような数)」「超越数(代数的数でない数)」と「数」の概念は広がっていきました。
でも、この大半が、最初は「存在しないけど仕方なく使っている」ところから始まったのです。でも今は大さじ2/3杯とか、０円とか、-18℃とか、当たり前のように使っていますよね。

そもそも「実世界に対応するものがある」＝「存在する」だとしたら、√２とか円周率だって存在しなくなってしまいますよ。これらは平面図形から出てきましたが、そもそも長さは一定以上短く分けられないのですから。

しかも量子論の登場によって、虚数はなくてはならないものになりました。単に数学上の便利な数から、物理的に意味を持った数になった、と言ってもいいでしょう。

この普段暮らしてるスケールの世界では、虚数にお目にかかることはまずないとは思います。しかし、「存在」の意味という問題は残っていますが、「虚数は存在する」と言ってよいと思います。複素平面上だけでなく、実世界に於いても、です。

回答No.11

sanori

こんにちは。

＞＞＞
私の個人的なイメージでは
「２乗して-1になる数なので、実世界上の具体例としては存在しないけれども、複素平面上には存在する数」
なんです。
このように考えて、「虚数は存在する」と、とらえることはできませんか？

複素平面うんぬんは、虚数が存在するか否かの議論には、あまり関係がありません。

＞＞＞虚数を定義した人は、なんと言っているのでしょうか？

これについては、わかりません。

１．
私達の脳の機能は、この世の４つの力（重力、電磁気力、弱い相互作用、強い相互作用）に支配され、特に電磁気力にほとんどを支配されています。
つまり、脳は電磁気力という物理法則にしたがって動作しています。
物理法則によって動作している脳によって、虚数が定義されたり利用されたりしている以上、虚数は物理法則にしたがっていると考えて差し支えないと思います。
人間は、純虚数を、ｉ、２ｉ、３ｉ、４ｉ、・・・・・　とカウントできる能力を持っています。
そして、一人の人が考えている虚数の概念は、紙切れなり黒板なりに書き留めたり、会話をしたりすることによって、他の人にも分け与えることができますが、それらの伝達手段も物理法則に支配されています。
つまり、虚数は理解できる誰にとっても実在する、ということになります。
頭の中に、虚数を扱える電卓があると思えばよいでしょう。

２．
「人口密度は１２３．４人／ｋｍ^2」
と言ったとき、１ｋｍ^2 の正方形の中に１２３人の人のほかに、０．４個の・・・・・がある、というイメージをする人はあまりいないと思います。
ある意味、抽象化された数字です。
人口密度は、実数であるということで、多くの人が“たまたま”安心して使っている概念なのでしょうね。

以上、ご参考になりましたら。

回答No.10

Tacosan

「適切な演算を定義した 2個の実数の組」あるいは R[x]/(x^2+1) なので「数学的対象として」は存在します.
結局「存在する」とか「実在する」という言葉の意味によっちゃいますが....

回答No.9

shiara

虚数は実在しない数です。√2の長さの線分はあっても、虚数の長さの線分はありません。それでも虚数が有用なのは、実数と虚数から複素数を作ると、2つの自由度を1つの数として扱えるからです。例えば、波を表すのに複素数を使うと、振幅と位相の両方を1つの数として扱うことができます。

回答No.8

kabaokaba

まあ，宗教論争みたいなもんです．
＃0.999...=1が偽だというのは
＃0.999...というのが「極限の略記」だという定義のもとでは
＃明確な誤りですがね・・・

虚数単位iってのは，
要は「二回かけると逆になる」というものの
抽象化だと考えられます．
つまり，「回転運動で90度動かす」ってのが虚数単位iです．
物理の計算で結果が複素数になることがないとかいわれてますが，
たとえば電気の計算ではしっかり複素数が結果にでてきます．
大抵は「角度のずれ」をひっくるめて複素数で計算するわけです．

「実際に存在する＝物理現象に物質的にでてくる」
というなら複素数は存在しないどころか「数」すら
手にとって触れるものとしては存在しません．
しかし，もろもろの現象や物質の裏に潜んでいる
各種の法則が「存在」するなら，そのような法則の根幹でもある
「数」は存在し，その数から構築され，また現象を記述するのに
使われる「複素数」も存在するのでしょう．

回答No.7

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

実世界に存在しないのではなく、ただ単に、「自乗してマイナスになる数は『実数』には存在しない」というだけです。
数学の世界では、かなり自由にいろいろな概念を導入することができます。
そして、その「導入したもの（たとえば虚数）」が、「別の世界（たとえば実数）」と、矛盾しないように組み合わせられるときに、有効な概念となります。

純粋に数学的な立場では、今日的には、ちょっと違った導入のされ方をします。

１）実数の２つのペアを考える（具体的にはこれが複素数に相当する）
２）それをたとえば、（a1, a2), (b1, b2) としよう
３）足し算をこんな風に定義してみる (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2)
４）かけ算をこんな風に定義してみる（a1, a2) * (b1, b2) = (a1 * b2 + a2 * b1, a2 * b2 - a1 * b1)
５）こう定義すると確かに，足し算やかけ算の基本性質（結合法則と分配法則）を満足する
６）だったら、これで、ひとつの数の体系ができるね。
７）ところで、(0, a2) + (0, b2) = (0, a2 + b2), (0, a2) * (0, b2) = (0, a2 * b2) だから、(0, x ) = x （実数）と見なせるね。
８）ついでに、(1, 0) * (1, 0) = (0, -1) だから、(1, 0) は自乗すると -1 という実数になると［見なせる」ね

おおざっぱに言えばこんな感じです。
ですから、自乗するとマイナスになるなる数というより、上に上げた性質からいろいろな理論が組み立てられます。
それが、複素関数論の形に拡張され、様々な解析に役立っているというわけです。

そして、この立場故に、現在数学では何かが「存在するかしないか」という議論は不要になってしまいました。
必要なのは、「それは矛盾するものかどうか」という議論だけなのです。

あと、補足ですが、

0.9999.... = 1 は、「0.9999... は、数列、0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... の極限値である」と正しく定義すれば、間違いなく真になります。
これは、無限を扱う際に、「数列のどの要素もある性質を持つ（どの要素も１と等しくない）」と「数列の極限値もその性質を持つとは限らない」ということを混同すると理解できなくなります。

ついでに、「数学ではいろいろな概念を自由に導入できる」にもかかわらず、ある数をゼロで割ることができない（言い換えれば、何かにゼロをかけてゼロでない数を（単純に）導入できないのは、上の、５）のあたりで引っかかってしまうからです。

回答No.6

gungnir7

もの凄く端折りますと虚数とは反転の性質を表すと考えると丁度よいかと思います。
それで実世界にも存在すると捉えることができるでしょう。
勿論、反転自体は－符号で事足りるのですが、それは目に見えている世界の話です。

目に見えている世界とはつまり、ニュートン力学の及ぶ範囲においてです。
しかし、原子物理学や波動物理学の世界では、
物質は人間の知っている自然界の常識のようには動きません。
このような世界の動きを説明するのに虚数は非常に便利なものだったのです。

虚数を定義したのは誰かはいささか不明ですが、存在自体はかなり昔から知られていました。
なにしろ二次方程式を解けばすぐに直面するわけですから。
特に使い道もないので虚数は長いこと哲学的な思想の対象となります。

それが１８世紀以降の科学の進歩によって段々に実用上の要請の圧力が強まってきます。
それが複素平面上の発見であり、ガウスらが発展に貢献します。
こうして原子レベル及びそれ未満の素粒子の世界ではなくてはならない存在となります。

回答No.5

fusem23

まず、自然数の存在から考えてみましょう。
りんご１個＋りんご２個＝りんご３個
このように、計算できますね。これが自然数が存在する証拠。
つまり、現実と対応できれば、その数が存在するとします。

虚数と対応した、一番簡単な現象は、波です。
波の動きは三角関数で表され、三角関数は、虚数を使って定義されています。だから、波を説明するには虚数を使うしかなく、そういう意味で虚数は存在します。でも、物理現象の計算途中に出てくることはあっても、計算結果には出てきません。その意味では架空の数字とも言えます。虚数は、図形の問題を解くための、補助線みたいなものでしょうかね。