Γ関数に虚数単位（√-1）を代入したときの値を教えてください

質問

Γ関数に実数を独立変数として代入する場合は勉強した範囲でわかるのですが、解析接続して変数を複素数に拡張したときの値の求め方が難しくてわかりません。
そこで、具体的に虚数単位である√-1を代入したときのΓ関数の値の求め方、およびその値を教えていただけると、複素平面上に展開されたΓ関数をイメージしやすく、かつ、学びやすいと思いました。
どなたか教えて頂けると幸いです。

回答No.2

jaspachate · ベストアンサー

以下を参照してください。
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/19/01/
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/19/02/

Γ(z)=∫[0～∞]exp(-t) t^(z-1) dt
は Re(z)>0 で定義されますが、
Γ(z+1) = zΓ(z) から、任意の正の整数nについて、
Γ(z)=Γ(z+n+1)/{ z(z+1)(z+2)・・・(z+n) }
となり、Γ(z+n+1)は Re(z)>-(n+1)で正則で、nはいくらでも大きく取れるのでΓ(z)は z=0,1,2,...,nで一位の極を持つ以外は全平面に解析接続でき、Γ(z+1) = zΓ(z) が全平面で成り立つことがわかります。
よって、
Γ(i) = -i Γ(i+1)
Re(i+1) = 1 > 0 なので、上記定義が直接使えます。
あとは、
http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/Gamma/19/02/
を参照してください。

お礼

どうもありがとうございました。
解析接続できる様がわかってきました。

回答No.1

gef00675

とりあえず値を知りたいだけであれば、
（第1案）そのまま、複素数を代入してみる。
　e^(x+iy)=e^x*cos(y)+ie^x*sin(y) (i=√-1)と
　t^(x-1)= e^((x-1)log t)　を使って
Γ(x+iy)=∫t^(x-1+iy)*e^(-t)*dt (0<t<∞)
=∫e^((x-1+iy)log t)*e^(-t)*dt
=∫e^((x-1)log t)*e^(iy*log t)*e^(-t)*dt
=∫e^(iy*log t)*t^(x-1)*e^(-t)*dt
=∫(cos(y*log t)+i*sin(y*log t))*t^(x-1)*e^(-t)*dt
=∫cos(y*log t)*t^(x-1)*e^(-t)*dt + i∫sin(y*log t)*t^(x-1)*e^(-t)*dt
で計算する。

（第2案）別の点(例えばz=1+i)の周りで、べき級数に展開し、z=iでの値を求める。
(d^n/dz^n)Γ(z)=∫t^(z-1)*(log t)^n*e^(-t)*dt
を使って、
a_n=(d^n/dx^n)Γ(1+i)を求めてから、
Γ(z)=Σa_n/n!*z^nのz=iでの値を計算してみる。

（第3案）数学公式集で探してみる。

（第4案）既存のソフトを利用する。下記URLにグラフの計算例がある。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html

お礼

かなりΓ関数を複素数に展開するということは難しい内容だと、改めて思いました。
今まで足踏みしていた点に一歩を踏み出せました。
ありがとうございました。

補足

（第一案）を辿ってみました。
>
=∫cos(y*log t)*t^(x-1)*e^(-t)*dt + i∫sin(y*log t)*t^(x-1)*e^(-t)*dt

まで確認できました。そして、

Γ(√-1)となるのは、x=0, y=1 ですから、（0<t<∞)　において
=∫(cos(log t)*t^(-1)*e^(-t)*dt + i∫(sin(log t)t^(-1)*e^(-t)*dt

となるまではわかります。
ここから計算が進みません。

（第二案）は、ｎ階の微分を使って得られた式およびプロセスが難しいです。よろしかったらもう少し具体的に計算していただけないでしょうか。もし出来るなら、値を求めやすい複素変数を代入して頂けるとありがたいです。