複素数 虚数単位 i 定義 について

質問

虚数単位iの定義について教えて下さい。

Wikipediaによれば、
虚数単位iは、－1 の平方根（2乗して －1 になる数）である2つの数のうちの
1つのことである（どちらかを特定することはできない）。
i^2=-1

と記載されています。

虚数単位iは
i=√-1またはi=-√-1のうちのどちらか１つという理解で良いでしょうか？
Wikipediaには、i=-√-1という記載はありませんが、
「虚数単位iは、－1 の平方根（2乗して －1 になる数）である2つの数のうちの
1つのことである」とは√-1と-√-1の事を言っていますよね？

また、2つの数のうち1つの事と言うのを、i=±√-1と表す事は間違いでしょうか？

i=-√-1が使われているのを見たことがないのですが、-√-1を
用いる場合もあるのですか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.11

rinkun · ベストアンサー

> ＞あと平方根も2価関数です
> これは、なぜでしょうか？
> 例えば√25=5ですが、どうして2価関数となるのでしょうか？

根号√は平方根のうち非負の方を示すので単純に関数ですが、
25の平方根は-5もあるので2つの値があり2価になります。

お礼

何度もご回答本当にありがとうございました。
理解できました。

回答No.10

rinkun

> なぜ、2価関数ではないのでしょうか？
> x≧0とx<0で2つの値を持つので2価になると考えているのですが、間違いでしょうか？
2価関数(より一般に多価関数)とは、一つのxに対して2つ(複数)の値を持つ関数のことです。
絶対値はxから一意に決まるので多価関数ではないです。絶対値の逆関数を考えれば2価ですけど。
# あと平方根も2価関数です

補足

何度もご回答本当にありがとうございます。

＞絶対値はxから一意に決まるので多価関数ではないです。
理解できました。

＞あと平方根も2価関数です
これは、なぜでしょうか？
例えば√25=5ですが、どうして2価関数となるのでしょうか？

申し訳ございませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.9

178-tall

>>しかし i は「虚数単位」なので、一意的に指定しておかねば　なりません。

>だから、iの値を√-1と決めるのですね。
>
>Wikipediaによれば、　虚数単位iは、－1 の平方根である2つの数のうちの　1つのこと
>と記載されますが、わざわざ2つの数のうちの1つと 言うとどうしても他方を考えたくなります。
>この辺りの解釈はどうなのでしょうか？

x^2 + 1 = 0 の零点の個数は (ダブりは 2 個とカウント) 2 つ…実零点のケースをなぞってみよう。

その零点ペアを j1, j2 としてみると？
　x^2 + 1 = (x-j1)(x-j2) = x^2 -(j1 + j2)x + j1*j2　　　…(1)
　　　　　　　　↓　x の係数比較
　j1 + j2 = 0 → j2 = -j1　　　…(2)

明らかに、j1, j2 はダブり得ない。
(ダブるということは、j2 = j1 だということ。
それに (2) を適用すると j1 = -j1 → j1 = 0 = j2 となり、(1) を満たさない)

…というストーリーでは、(2) の「零点ペア {j1, j2} の一方を i とすれば他方は -i 」… から先のことを考えたくとも、考えようが無いのでしょうネ。

お礼

何度もご回答本当にありがとうございます。

とても分かりやすいです。
理解できました。

ありがとうございました。

回答No.8

rinkun

> これをまとめて、｜x｜=±xと表現することは問題ないでしょうか？
そういう表現はしませんね。

> 実数における絶対値は2価関数なので正しい気もするのですが・・・
2価関数ではないでしょう。

補足

なんどもご回答ありがとうございます。

｜x｜=±xという表現はしないのですね。
理解しました。

なぜ、2価関数ではないのでしょうか？
x≧0とx<0で2つの値を持つので2価になると考えているのですが、間違いでしょうか？

以上、なんども申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。

回答No.7

rinkun

> 一方をi、あるいは√-1と定義したのであれば、他方も考えたく
> なるのですが、この考え方がそもそもいけないのでしょうか？
一方をiとすれば他方は-iです。
借りに-iの方をiと置き換えて議論をしても、複素数の議論としては全く同じになります。
その意味で「どちらかを特定することはできない」のです。

ちなみにi=-√-1と定義しても符号の処理が多少面倒になるだけで大筋の議論には変わりないでしょう。
従って、そのようなことは普通は行われません。

補足

本当に何度もご回答ありがとうございます。

理解できました。

つまり、i=-√-1という表現（定義）はないのですね。
一方をi、あるいは√-1と定義したのであれば、他方は-i
となるのですね。
つまり、i=√-1より-i=-√-1となるだけなのですね。

ココまでで間違いありますでしょうか？

申し訳ないのですが、もう一点だけ教えて下さい。
復号についてです。

i=±√-1と言う表現（定義）が間違いであることは理解
できました。

実数における絶対値について教えて下さい。
｜x｜は、
x≧0ならば、｜x｜=x
x<0ならば、｜x｜=-x
と定義されます。
これをまとめて、｜x｜=±xと表現することは問題ないでしょう
か？
実数における絶対値は2価関数なので正しい気もするのですが・・・
どうなのでしょうか？

以上、追加質問まで申し訳ありませんがご回答よろしくお願い
致します。

回答No.6

rinkun

ANo.4です。

> 根号（√）の中身が正の実数に対してしか定義されていないという事でしょうか？
正の実数に対しては√は一意に決まる定義があります。したがって√は関数になり、これは連続です。
しかし一般の複素数については、二つの平方根のうちどちらを√にするか広く通用するルールがありません。どのように決めてもどこかで不連続になり、どう決めるのが良いと言えないからです。

> i=±√-1はどこがまずいのでしょうか？
これではiが定まらないので定義になりません。
まず上記のように一意な√-1の定義がないので±√-1の意味が分かりません。
また√-1が定義できたとしても、i=±√-1ではiをどのように定義したいのかわかりません。
通常は-1の平方根の一方をiあるいは√-1と定義して、√-1=iあるいは、i=√-1とします。

i=-√-1が出てくる必要性は全くありません。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

＞通常は-1の平方根の一方をiあるいは√-1と定義して、√-1=iあ＞るいは、i=√-1とします。
理解できました。
一方をi、あるいは√-1と定義したのであれば、他方も考えたく
なるのですが、この考え方がそもそもいけないのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

178-tall

>y^2=x⇔y=±√xなどは普通に使いますよね？
>i=±√-1はどこがまずいのでしょうか？

y^2=x ⇔ y=±√x　の ± は y^2=x を満たす y が二つあることを意味しています。
つまり、y は点集合 {+√x, -√x} を指示している。

それと同様に、x^2 = -1 ⇔ x = ±i などと「普通に使います」。

しかし i は「虚数単位」なので、一意的に指定しておかねばなりません。
i を±√-1 と指定してしまうと、z = iy を座標上に表示したい場合など、上平面にあるのか判別できなくなりそう。
その結果、具体的な複素数演算 (偏角の勘定など) を確定できなくなる場面が多々生じてしまいそうです。

補足

ご回答ありがとうございます。
お礼が遅くなり申し訳ありません。

＞しかし i は「虚数単位」なので、一意的に指定しておかねば
＞なりません。
だから、iの値を√-1と決めるのですね。

Wikipediaによれば、
虚数単位iは、－1 の平方根である2つの数のうちの
1つのこと
と記載されますが、わざわざ2つの数のうちの1つと
言うとどうしても他方を考えたくなります。
この辺りの解釈はどうなのでしょうか？

以上、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.4

rinkun

平方根記号√は負でない実数に対してしか自明には定義できません。
むしろiを使って、√-1=iと定義してしまう方が正解です。

一般に0以外の平方根は2つあり、正の実数に対しては正負2つの実数になるので正の方を√で表すだけです。
-1の2つの平方根は、一方をiと置けば他方が-iになることは分かりますが、どちらをiとしても全く同等なのでどちらかを特定することはできません。

補足

ご回答ありがとうございます。

仰るとおり、根号（√）の定義は、
2乗してその数になるもののうち、正の方を
表すと理解しています。

＞方根記号√は負でない実数に対してしか自明には定義
＞できません。
これは、どういうことでしょうか？
根号（√）の中身が正の実数に対してしか定義されていない
という事でしょうか？

y^2=x⇔y=±√xなどは普通に使いますよね？
i=±√-1はどこがまずいのでしょうか？
2乗すると-1になる2値のうちどちらかの値を持つのだから
iの値は1つだと考えています。
復号±記号はその値を同時にはとらず、どちらか1つの値を
とると理解しています。

どうも良くわかりません・・・

申し訳ありませんが、ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

178-tall

>2つの数のうち1つの事と言うのを、i=±√-1と表す事は間違いでしょうか？

その表記だと、i が 二値ということになり、何かとまずそう。

現行数学は、その一方を i に指名、他方は -i として、支障なく運用されてる模様。

>=-√-1が使われているのを見たことがないのですが、-√-1を　用いる場合もあるのですか？

「どちらかを特定することはできない」というから、どちらとも明示し兼ねるのでしょうね。

回答No.2

funoe

>虚数単位iはi=√-1またはi=-√-1のうちのどちらか１つという理解で良いでしょうか？
よくないでしょう。その理解は多くの人に違和感を与えるでしょう。
　「２つあるうちの一つ」を「ｉ］または、「√-1」と表現するのであって、
その選択と表現が決定してから、もう一方を「-√-1」と表現することになるのです。

したがって、
＞また、2つの数のうち1つの事と言うのを、i=±√-1と表す事は間違いでしょうか？
は、間違いというか、他人には伝わらない表現でしょう。
数学の用語は、共通の定義を皆が共有している前提で語られているので、自分勝手な独自解釈の用語定義では会話が成り立ちません。

＞i=-√-1が使われているのを見たことがないのですが
ないでしょう。

複素数を実数の順序対から構成的に定義する手法での
--
ex　積の定義：(a,b)*(c,d)＝(ac-bd,bc+ad)　　・・e.t.c.
--
(0,1)に対応するのが「ｉ」であり、(0、-1)に対応するのが「-i」と考えるのが自然でしょう。

この立場では、２つの異なるもの「(0,1)と(0,-1)」はそれぞれ2乗すると-1=（-1,0）になりますが、
このとき、「本家虚数単位」は（0,1）の方であって、あえて(0,-1)を本家虚数単位と主張するのは変な人だけでしょう。

回答No.1

asuncion

おそらく、
iは√-1
のことを指すのが一般的だと思います。

＞「虚数単位iは、－1 の平方根（2乗して －1 になる数）である2つの数のうちの
＞1つのことである」とは√-1と-√-1の事を言っていますよね？

「1つのことである」という記述が正しいとすると、
「√-1と-√-1のこと」という、2つの数のことではないと思います。
したがって、

＞また、2つの数のうち1つの事と言うのを、i=±√-1と表す事は間違いでしょうか？

私は、間違いだと思います。

まあ、Wikipediaに書いてあることや私の回答を含めて、
あまり盲信しない方がよいと思います。
Wikipediaにも（もちろん、私の回答にも）正しくない内容は
当然含んでいることでしょうから。