- 締切済み
虚数単位【i】の計算
僕は,鹿児島県内において高校1年生である者なのです。 虚数単位【i】について最近学ぶのですが, 2つ程腑に落ちぬ点がありますので, 質問をさせていただきたく思いました。 【1】「√i(ルート虚数単位)」,というものは どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。 【2】「iのi乗」,というものは どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。 虚数の本質なぞ全く判っていないような未熟な質問なのですが, どうかどうか,人助けだと思っての親切な解答,お待ちしております・・。
- moaisan199
- お礼率0% (0/6)
- 物理学
- 回答数6
- ありがとう数4
- みんなの回答 (6)
- 専門家の回答
みんなの回答
- ruto
- ベストアンサー率34% (226/663)
>【1】「√i(ルート虚数単位)」,というものは・・・ iは虚数とよばれており、普通の数値は実数です。 虚数と実数の間には90度のずれがあります。だから2つの大きさを出す時は各数値を自乗して加えて平方します。 直角三角形を思い浮かべてください。底辺が実数で高さがiの付く数 値で高さ+底辺はピタゴラスの定理で(底辺の自乗+高さの自乗) を平方して斜辺の長さを求めます。ある実数aにiを掛けると縦軸上にaとなりaiにiを掛けると-aとなり、負の実軸上に-aの所です、それにiを掛けると-aiとなり縦軸上の-aの所です。それにiを掛けると実軸上のaにもそります。即ちiを掛ける毎に90度ずつ反時計回りに回転します。だからiは数値ではなく方向を示すと考えればいいと思います。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
#2です。 A#2のミスの訂正です。 >二乗するとiとなる虚数は >(1±i)/√2,(-1±i)/√2の4通りあります。 ±(1+i)/√2の2通りあります。 ちなみにgoogle電卓では √(i)=(1+i)/√2 の方だけ表示されます。 虚数の√の定義の仕方で √(i)=(1+i)/√2 だけ (この場合-√(i)=-(1+i)/√2) とするケースと √(i)=±(1+i)/√2 とするケースがあります。
- BookerL
- ベストアンサー率52% (599/1132)
「2の平方根」は、2乗すると2になる数のことで、正負2つあり、そのうち正のものを √2 と表し、負のものを -√2 と表します。 >【1】「√i(ルート虚数単位)」,というものは >どういう値になるのでしょうか。 ここで √i が √2 のときのように、「2乗してiになる数のうち正のもの」と考えると、それは存在しません。(一般に複素数では正負が定義されない) 「2乗してiになる数」は存在するか、という質問として、回答します。 そのような数が存在するとして、その数を x+iy としましょう。(x、y は実数) (x+iy)^2 = x^2 + 2×i×xy - y^2 = (x^2 - y^2) + i(2xy) となりますから、これが i に等しくなるためには (x^2 - y^2)=0 かつ 2xy=1 となるx、yを求めればいいことになります。 x、yが実数という条件でこの二つの式を解いてみましょう。二通りの答えが出てきます。(#1さんの回答と同じです。) >【2】「iのi乗」,というものは >どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。 ある数の虚数乗、というのは定義されます。 i^i は、有名な「オイラーの公式」から導くことができるようです。 http://d.hatena.ne.jp/mr_konn/20070501/1178022940 ただ、オイラーの公式自体は、高校数学では範囲を超えていると思います。大学で学ぶ「解析学」で扱う範囲でしょう。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
Google さまにお伺いをたててみるといいかも.
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
【1】 √iの√の定義がどうかは別にして 二乗するとiとなる虚数は (1±i)/√2,(-1±i)/√2 の4通りあります。 【2】aのn乗を「a^n」と書けば i^2=-1 i^3=-i i^4=1 i^5=i などとなります。 一般化すれば mを非負整数とすれば i^(4m)=1 i^(4m+1)=i i^(4m+2)=-1 i^(4m+3)=-i となります。 これ以上の拡張は大学の数学で学ぶことになるかと思います。
- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんばんは。 >>> 【1】「√i(ルート虚数単位)」,というものは どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。 √i = ±(1+i)/√2 です。 試しに右辺を2乗してみてください。 答えが i になりますので。 ちなみに、私が上記の答えをどうやって出したかというと、 中心が(0,0)の半径1の円を描いて、 座標(1,0)から反時計回りに90度のところがiを表すから、 45度のところの座標が(1/√2,1/√2)になる、 ということを図解で求めたのです。 (オイラーの公式と関係があります。) >>> 【2】「iのi乗」,というものは どういう値になるのでしょうか。そもそも,定義されているのでしょうか。 これは私は知らなかったのですが、 下記に書かれています。 http://blog.livedoor.jp/enjoy_math/archives/50662295.html 以上、ご参考に。
関連するQ&A
- 複素数 虚数単位 i 定義 について
虚数単位iの定義について教えて下さい。 Wikipediaによれば、 虚数単位iは、-1 の平方根(2乗して -1 になる数)である2つの数のうちの 1つのことである(どちらかを特定することはできない)。 i^2=-1 と記載されています。 虚数単位iは i=√-1またはi=-√-1のうちのどちらか1つという理解で良いでしょうか? Wikipediaには、i=-√-1という記載はありませんが、 「虚数単位iは、-1 の平方根(2乗して -1 になる数)である2つの数のうちの 1つのことである」とは√-1と-√-1の事を言っていますよね? また、2つの数のうち1つの事と言うのを、i=±√-1と表す事は間違いでしょうか? i=-√-1が使われているのを見たことがないのですが、-√-1を 用いる場合もあるのですか? 以上、ご回答よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 虚数を含む絶対値の計算
解答には途中の計算なしで1のみになっているのですが,自分で計算をやってみると 虚数とルートが外れません. | (i√a - 1)/(i√a + 1)|^2 = 1 約分して1になるのだと思うのですが,どのようにルートを外して約分をするのでしょうか. 教えて下さい.よろしくお願いします.
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 虚数「i」の無限大への極限
例えば、 0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位)を考えると、 その計算途中で、 (-1+ai)/(i+a^2)*[exp{(-1-ai)x}](0→∞)となるところがあります。 ここで気になったのが、[ ]内のxに∞を代入したときです。 「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い(=0)」と言われたのですが、 何か納得がいきません。 考えなくても良いとは?? そもそも虚数の正負とは?? もちろん、[ ]内が(-1)になると、答えも合います。 このようなとき、「i」をどう見ればよいのでしょう。 虚数がどうしてもはっきりと分からないのです。 どなたか御教授願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学、虚数の大きさは?
√(-1)=i 虚数には大きさの概念がないと聞きました。 それはどういうことなんでしょう? 定義されていない。 定義できるが意味がない。 そもそも定義すらできない。 どれなんでしょう??? その理由も含めて解説していただきたいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 虚数と無理数について教えてください
オイラーの公式 で導出できる結果について、教えてください。 e^(ix)=cos x + i sin x ・・・(1) (オイラーの公式)を変形したいくと、 e^(iπ)=-1 ・・・・・・。・(2) となるのはご承知のとおりです。 また、(1)で x=π/2とし、両辺に iをかけると e^(-π/2)=i^i ・・・・・・・(3) 上の(3)の値は、0.20787・・・・ ・・・(4) ここで質問です。 (高校生です。できれば、高等な数学式より、考え方で教えてください) 1 なぜ(2)の値が「-1」と実数になるのかが、感覚的にわかりません。 [理由] 整数の数も、無限大ですが、無理数や少数の数は「無限大のレベルが異なる(無限大より大きな無限大)」と何かで読みました。 このことから、「無理数の虚数無理数乗」がなぜ、整数になるのか想像できません。たまたま偶然だとは確率から考えられません。 eの意味を知りません、教えてください。eは、『リミットt→∞〔(1+t)〕の1/t乗』の定義は習いましたが、この定義にどういう意味があるのかが分かりません。定義にπが関係しているので、実数になるのでしょうか。 2 (3)の実計算値、iのi乗がなぜ 正の実数「約0.2・・(無理数)」の値になるのか、感覚的に意味がわかりません。どのように考えればよいのでしょうか教えてください。 実数では、xのx乗は、約0.69より小さくならないのは、感覚的に理解できますが・・・。 iに大きさ(スカラー)はあるのかもわかりません。 僕自身わけのわからない質問と思っていますが、よろしく回答をお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 虚数とは結局なんですか?
以前から疑問なのですが、虚数とは何なのでしょうか? iであらわされ、二乗すると-1になるなどの事はわかるのですが、想像も付かない世界なので、実感がわきません。 理論上の物であることもわかりますが、もう少し、細かく知りたいのです。 曖昧な質問で申し訳ないのですが、虚数とは何か、教えて頂けると幸いです。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 虚数(i)を含む方程式の問題
(x+yi)^3=-1、y>0のとき、実数x、yを求めよ。 ただし、i=√-1、(虚数単位)とする。 現在、この問題をやっていて、答えは(x、y)=(1/2、√3/2)とあるのですが、どのようにこの答えを導くかが分かりません。 とりあえず、3乗とあるので、カッコ内を展開してみると、 x^3+3x^2yi-3xy^2+y^3i^3=-1 という感じになりました。(この展開した式も正しいのか自信がありません) しかし、とりあえず展開はしてみたものの、この先どう解くのかさっぱり見当がつきません。 解き方の分かる方がいましたら、力を貸していただけると嬉しいです。
- ベストアンサー
- 数学・算数