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虚数単位のiについて

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虚数単位iについてですがオイラーの式を利用してi^i(つまりiのi乗)の値を教えてください。途中の計算過程も記入してください。お願いします。
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レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

複素数の巾関数は z^a = exp(a log(z))と定義するので i^i = exp(i log(i)) です。 log i = (π/2 + 2 n π) i (n は整数) を使えば直接計算できます。普通は主値を考えるのでn=0 とします。 オイラーの式を使うのなら定義通りに i^i = exp(i log(i)) = cos (log(i)) + i sin (log(i) ...続きを読む
複素数の巾関数は z^a = exp(a log(z))と定義するので
i^i = exp(i log(i)) です。
log i = (π/2 + 2 n π) i (n は整数)
を使えば直接計算できます。普通は主値を考えるのでn=0
とします。

オイラーの式を使うのなら定義通りに
i^i = exp(i log(i)) = cos (log(i)) + i sin (log(i))
としても同じように計算できます。log i に上の
値を代入すればそのまんまです。その際
sin(ix) = i sinh(x) と cos(ix) = cosh(x)
を使うとすっきりした形になります。
sinh(x)とcosh(x)は双曲線関数と呼ばれるもので解析学の教科書には
必ず出ているので知らなければ調べて下さい。

どちらにしても結果は
exp(-π/2)
になります。

レポートのようなのでこれ以上細かくは書きませんが、
そうでなくて本の問題を勉強をしているのだが本に回答がなくて
どうしても分からないというような場合でしたら補足して下さい。
お礼コメント
hujio

お礼率 100% (1/1)

回答ありがとうございます。実は結構急ぎの問題だったので本当に助かりました。私は、初めて質問させていただいたのですが、あまりの速さとこちらの求めている内容の正確さに、感動しました。
 本当にありがとうございます。
投稿日時 - 2001-02-22 12:15:26


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