虚数について

質問

今僕は中３ですが、学校で平方根を習いました。
そのとき先生が、数には無理数と有理数があるということを言ってて、無理数の中には二乗するとマイナスになる虚数があるということも言ってました。
もちろん高校で習いようなのですけど、二乗すると
マイナスになるってどういう風にあらわすのですか?
また、どういうときに使うのでしょうか?
いろいろ調べてみましたが、説明が難しくていまいちよくわかりません。
どなたか中三の僕でもわかるように教えてもらえないでしょうか。　よろしくお願いします。

回答No.5

tenro · ベストアンサー

（１）有理数と無理数について
有理数とは分数で表せる数のことです。1/2や-5/3などは有理数です。有理数ではない（つまり分数で表すことができない）数直線上の数を無理数といいます。例えば、√2や円周率πは無理数です。数直線上の数を実数といいます。ですので、実数は有理数と無理数に分けられるということになります。

（２）虚数について
xの２乗をx^2と表すことにします。x^2=2という方程式を考えると、これはx=√2、-√2という２つの実数解を持っています。しかし、x^2=-1という方程式を満たすxは実数の中にはありません。なぜならば、すべての実数は２乗するとゼロ以上の実数になるからです。だから、方程式x^2=-1は解けないとして終わってもよい訳です。しかし、先人は、そうではなくて、解けないのは実数（=数直線上の数）の世界がせますぎるからで、数の世界を実数から広げてもっとおおきなものにすれば、方程式x^2=-1も解けるはずだと考えたわけです。しかし、どうやったらx^2=-1が解けるように数の世界を広げることができるでしょうか？これが問題です。オイラーやライプニッツは２乗して-1になる数をiと書いて形式的に用いていましたが、その正確な意味はつかめませんでした。初めて、この問題を明確に解いたのはガウス(1777-1855)です。ガウスは数の世界を数直線という１次元の世界から平面という２次元の世界に広げればよいということに気づいたのです。では、２乗して-1になる数iは平面上のどういう点になるでしょう？
そこで、i^2=-1の右辺の-1の意味を考えてみます。
　　0×(-1)=-2
　　(+1)×(-1)=-1
　　(+2)×(-1)=-2
　　(-1)×(-1)=+1
　　(-2)×(-1)=+2
この例からわかるように、(-1)をかけるということは、実数を符号を変えた数にする（+を-、-を+にする）働きを持っています。そこで、数直線を２次元平面の一部と考えて、２次元の世界で考えてみます。そうすると、符号をかえるというのは、原点の周りに180度回転させることであると解釈することができます。
　　i^2=-1
とういうのは
　　×i×i = ×(-1)
ですので、×(-1)が180度の回転であるならば、×iは90度の回転であると考えることができそうです。このように考えると、
　　(+1)×i = i
　　(+2)×i = 2i
　　...
　　(-1)×i = -i
　　(-2)×i = -2i
　　...
ですので、i,2i,...,-i,-2i,...というのは、実数の集合である数直線と垂直な直線上に並ぶことがわかります。1が水平線＝数直線上の単位であるのに対して、iは垂直線上の単位と考えることができます。そこで、iのことを虚数単位と呼びます。虚数というのはライプニッツが使った言葉ですが、現実にないという意味なので、あまり適切な言葉ではないように思えます。実際は２次元平面上の点という現実のものとして表せるので別な呼び方がふさわしいと思いますが、今でも虚数という言葉をそのまま用いています。

（３）複素数について
上のように考えると、数の世界を１次元の直線から２次元の平面に広げて考えるのが自然であるように思われます。そこで、座標(a,b)をもつ平面の点はa+biという数を表すと考えます。この数を複素数と呼びます。平面上の各点が複素数という数を表していると考えたときのこの平面を、このことを初めて発案したガウスにちなんで、ガウス平面と呼びます。

数の世界を１次元の実数から２次元の複素数に広げることで、数学のいろいろなことが明らかになり、またいろいろなところでそれが応用されています。例えば、現代物理学の基礎となっている量子力学では複素数を用いることが本質的なことになっています。これらのことについては、これから勉強していくとわかってきますので今の興味を継続していろいろな本を読んでみてください。

以上、お役に立てれば幸いです。

お礼

ちょっと難しかったけど
丁寧に答えていただき、ありがとうございました。

回答No.4

KENZOU

＞中三の僕でもわかるように教えてもらえないでしょうか？
これは非常に難しい(笑い）。まともに答えるには私の手に余りますので、余談程度でお茶をにごしておきます。
虚数はｉとかかれます。ｉ＝√(-1)　ということですね。
これから　ｉ×ｉ＝－1　となります。虚数は２乗の数の世界に棲んでおり、計算の途上で時折顔をだしますが、虚数自体は現実の数ではありません。例えば３という数字は１の３倍で、３ｃｍは１ｃｍの３倍になることは日常的、経験的に知っていますが、例えば虚数ｉに３をかけた３ｉは
ｉの３倍の長さかというとそうはいかない。というのは虚数に現実の長さを当てることが出来ないからなのです。虚数は３次方程式を解くことから生まれたのですが、そのあたりの経緯は下記ＵＲＬに分かりやすく書かれていますので一度参照してみてください。
縦軸に虚数軸、横軸に実数軸を取る平面を複素平面と呼んでいます。例えば３は実数ですから複素平面上では実数軸上の３というところにきます。これにｉをかけると３ｉとなりますが、これは虚数となり、虚数軸の３ｉという点に移ります。複素平面上でこの様子を見ると原点０の周りに○が●に回転したと考えることができます。このような特長は詳細は省略しますが、poor_Quarkさんが書かれているように交流電気の計算や量子力学など現代物理学の計算になくてはならないものとなっています（←計算の見通しがはるかによくなる）。サッパリ要領をつかめない説明となりましたが、ご容赦ください。。。
　　　（虚数軸）
　　　　　｜
　　　　　｜
　　　３ｉ●
　　　　　｜　（回転）
　　　　　｜
　　　－－－－－○－－－（実数軸）
　　　　０｜　　３

http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/
　　　↓
おもしろ数学講座
　　　↓
おもしろ数学講座
　　　↓
第陸話「虚数解ってなぜ必要だった？」

参考URL：

http://www.cwo.zaq.ne.jp/bfaby300/math/three.html

回答No.3

zero-fighter

#1、#2さんの答えに多少補足しておきますと、2iを２乗するとー４になります。
使うのは数学の試験のとき（笑）と、理論物理学の一部とか極めて特殊な分野の大学に進んだときだと思います。
文系は当然、理系の大学でも必ずしも使うとは限りません。

回答No.2

poor_Quark

虚数の実態を追求する必要はあまりないと思います。とにかく２乗すればマイナスになる、という性格を持った想像上の数字があるということです。虚数をｉという文字で代表させますが "Imaginary Number" の最初の文字です。虚数は実数部との組み合わせで複素数の概念へと発展しますが、複素数の計算を道具として使うと交流の電気の計算などいろいろな分野でたいへん役に立ちます。じつはこういう計算は三角関数の組み合わせで計算できないことはないのですが、とても複雑になります。交流の電気の計算の中に２乗してマイナスになるなどの物理量は登場しません。概念的な計算で、結果として都合がよいというだけの話です。

　あくまでも２乗してマイナスになるといったなんらかの物理量が存在するわけではなく、計算の便宜上導入したらきわめて便利で都合がよいもの、それが虚数であり複素数であると考えて良いと思います。

回答No.1

Quattro99

質問を読んでいて自信がなくなっちゃいましたけど、虚数は無理数ではないんじゃないでしょうか。
数には、実数と虚数があり、実数には有理数と無理数があるのでは？

虚数を表すには記号を使います。二乗すると-1になる数を「i」と表記すると決めるのです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%95%B0%E5%8D%98%E4%BD%8D