有理数と無理数

質問

ってありますよね

無理数は、πや平方根等がある、と習いました。
では、

√25
　　＿
　 3

などはどうなんですか？√2５は5と表わせられますが・・

それと、

　４
　＿
　√３　

のように、分母が√の場合も無理数なんですか？
それとも有理化できるので、有理数なんですか？
教えてください、お願いします。
中学３年です。

回答No.1

iktmth · ベストアンサー

√25
　　＿
　 3

は、√2５は5と表わせられるので有理数です。

「無理数は、πや平方根等がある」との説明の「平方根」は、√2や√３などのように、小数点以下が永遠に続くものをさしており、√の中身が何かの数字の２乗になっている特殊なパターンは含まれません。

分母、分子どちらもが、小数点以下の数字に限りがあれば有理数なので、どちらか一方でも、小数点以下が永遠に続くようなものであれば、無理数です。ですから、

４
　＿
　√３　

は、無理数になります。

お礼

ありがとうございました！

回答No.3

windwald

本質を見るべし。
有理数と無理数の定義は分かっている？(not知っている?)
有理数とは整数か、2つの整数a,b(aとbは互いに素)を用いてa/bと表される数であるか。
無理数は2つの整数a,b(aとbは互いに素)を用いてa/bと表すことができない数。
ちなみに「互いに素」とは約分できない数の組み合わせという意味。

√25/3＝5/3　と2つの互いに素な整数を使った分数で表されるから有理数
4/√3＝4√3/3 よって無理数(厳密には下のような証明が必要)

最も計算が楽そうな形に直してから判断すると良い。

証明
4/√3が有理数だと仮定すると、4/√3＝a/bと表せる(aとbは互いに素)。

4/√3＝a/b　より　4b＝(√3)a　
両辺を2乗して　16b^2＝3a^2
16は3の倍数ではないので、b^2が3の倍数であり、bが3の倍数であることが分かる。(イ)
「bが3の倍数である」とは整数kを用いてb＝3kと表せることと同じ。これを代入して
16b^2＝3a^2　より　16・9k^2＝3a^2　両辺を3で割って
16・3k^2＝a^2
よってaも3の倍数であることが分かる。(ロ)
(イ)と(ロ)よりaもbも3の倍数であると導くことができたのであるが、
条件の「aとbは互いに素」と矛盾している。
矛盾した結論が得られたのは前提「4/√3が有理数」が誤っていたからだ。
よって 4/√3は無理数であると示された。

お礼

ありがとうございました！

回答No.2

bgm38489

一言でいえば、有理数とは、循環小数で表せるもの、無理数とは表せないものです。
1/7=0.142847142857142857…という風に、数字の並びが同じパターンになるものが、循環小数です。
1.2は？これは、1.2000…ですから、循環小数であり、有理数です。
√２＝1.4141356…これは、どこまで行っても同じパターンになりません。無理数です。
π＝3.1415926535…も同様です。

√２５＝５は、もちろん有理数です。平方数の平方根は、有理数です。いくら√がついていようと、有理数になるものは有理数です。

４/√3の有理化とは、分母の有理化です。すなわち、分母を３という有理数にしてしまう。手順はわかりますね？
すると、４√３/３となり、分子は無理数のままなので、この分数は無理数に変わりありません。

有理数＊無死数、有理数/無理数、無理数/有理数、有理数＋無理数…全部、無理数です。

お礼

ありがとうございました！