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虚数は存在するか?
麻野 なぎ(@AsanoNagi)の回答
- 麻野 なぎ(@AsanoNagi)
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実世界に存在しないのではなく、ただ単に、「自乗してマイナスになる数は『実数』には存在しない」というだけです。 数学の世界では、かなり自由にいろいろな概念を導入することができます。 そして、その「導入したもの(たとえば虚数)」が、「別の世界(たとえば実数)」と、矛盾しないように組み合わせられるときに、有効な概念となります。 純粋に数学的な立場では、今日的には、ちょっと違った導入のされ方をします。 1)実数の2つのペアを考える(具体的にはこれが複素数に相当する) 2)それをたとえば、(a1, a2), (b1, b2) としよう 3)足し算をこんな風に定義してみる (a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2) 4)かけ算をこんな風に定義してみる(a1, a2) * (b1, b2) = (a1 * b2 + a2 * b1, a2 * b2 - a1 * b1) 5)こう定義すると確かに,足し算やかけ算の基本性質(結合法則と分配法則)を満足する 6)だったら、これで、ひとつの数の体系ができるね。 7)ところで、(0, a2) + (0, b2) = (0, a2 + b2), (0, a2) * (0, b2) = (0, a2 * b2) だから、(0, x ) = x (実数)と見なせるね。 8)ついでに、(1, 0) * (1, 0) = (0, -1) だから、(1, 0) は自乗すると -1 という実数になると[見なせる」ね おおざっぱに言えばこんな感じです。 ですから、自乗するとマイナスになるなる数というより、上に上げた性質からいろいろな理論が組み立てられます。 それが、複素関数論の形に拡張され、様々な解析に役立っているというわけです。 そして、この立場故に、現在数学では何かが「存在するかしないか」という議論は不要になってしまいました。 必要なのは、「それは矛盾するものかどうか」という議論だけなのです。 あと、補足ですが、 0.9999.... = 1 は、「0.9999... は、数列、0.9, 0.99, 0.999, 0.9999 ... の極限値である」と正しく定義すれば、間違いなく真になります。 これは、無限を扱う際に、「数列のどの要素もある性質を持つ(どの要素も1と等しくない)」と「数列の極限値もその性質を持つとは限らない」ということを混同すると理解できなくなります。 ついでに、「数学ではいろいろな概念を自由に導入できる」にもかかわらず、ある数をゼロで割ることができない(言い換えれば、何かにゼロをかけてゼロでない数を(単純に)導入できないのは、上の、5)のあたりで引っかかってしまうからです。
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