日出没時の補正量が「経度１度あたり４分」とは微妙に異なる理由

質問

天文年鑑には、日本の各地における、日出没時と天文薄明継続時間の計算方法（東京との緯度経度差から値を補正する式と定数）が載っています。
　2005年版の小型の奴なら70ページです。

　日出没時の補正量（東京との差）について、経度が１度東に行くと４分早くなることは理解できるのですが、この「４分」が、3.9分だったり4.1分だったりすることがあります。その理由が理解できません。
　これは何故なのか、教えて頂けますか。

　また同様に、天文薄明継続時間も、経度１度につき0.1～0.3分の補正があります。これの理由も理解できませんので、教えて頂けますか。

　なお、４分という時刻の差（から来る地球の位置の差）に伴う、日出没時刻の変化や、均時差の変化（例えば12月21日18:00と同日18:04との均時差の違い）は考えたのですが、それだけでは分量的に説明できそうにありません。

回答No.15

takug · ベストアンサー

No11 の続きです。

＞「これが本当だったらやだな」という感じ

まったくそうですね。 本当に No11 の如き手順を実際にたどって補正係数を決定することはあり得ない、と私も思うので、質問者様の「やだな」とのお気持ちはよく解かります。天文年鑑の編集者がそんないい加減な手順で補正係数を決定するはずはありません。 係数 a, b の「実際の」作成手順は別にあると思います。

いうなれば、No11 というのは係数 a に見られる 4.1 という奇妙な数字の解釈の方法だということです。 係数 a, b の実際の作成手順とは混同なさらないでください。 係数 a, b の実際の作成手順についてならばすでにご承知、あるいはほぼ推定されておられるものと思っておりました。

まず、天文年鑑P70は、「日本」国内の任意の緯度・経度の地点に対する日出入時の近似値を簡便な計算で与えようとするものです。決して厳密な計算を目指したものではありません。
特定の地点の厳密な計算結果についてならば、理科年表をひもとけば国内の約５０個の地点について日出入時刻をその地点の経緯度と共に参照することができます。
これを利用して簡便な近似式を得るには

Ｔ＝Ｔ。＋ａ（１３９°.７ －λ ）＋ｂ（３５°.７ －φ ）

の式に理科年表から得た Ｔ, λ, φ のデータの組を代入し、最小二乗法で誤差が最小となる係数の組 a, b を求めることができます。多分、これが最も簡単な方法でしょう。
計算自体も困難なものではありませんので実際に行なっていただければ係数 (a, b) が (4.1, -3.0) のように得られることが実感できると思います。
なお、実際の計算ではサンプル地点の数をさらに多くとっているかもしれません。

しかし、ここで得られた係数 a, b はサンプル地点の分布を反映したものになっていることは当然で、サンプル地点から遠く離れた離島などではこの近似式での計算では誤差が大きくなります。また、那覇はサンプルに含まれていますが、サンプル群の中では地理的にひとつだけ飛び離れた地点なので、那覇についてこの近似式で計算をすると、かなり誤差の大きい結果が返ってきます。

つまり、この係数 a, b はサンプル地点の大多数やその近傍についてのみよい近似値を与える係数であるということです。日本列島の形状に「適応」しているのです。

No11 では「折れ線近似」という表現を使いましたが、実際の係数計算の過程では折れ線近似を使うというような意識は多分ないでしょう。単純かつ機械的に最小二乗法を適用して係数を求め、得られた係数を適用して計算した結果が大多数の地点で誤差の許容範囲以内に収まっていることを確認すればOKですね。
得られた結果の適用範囲が列島から離れたらダメという意識も多分ないでしょうね。列島だけでなく離島でも使えるように考慮するとすれば、離島をサンプル地点に追加するという手段をとるのではないでしょうか。

しかし、こうして得られた係数を見る側としては、4.1 という俄かには信じがたい奇妙な数値の生まれる理由を知りたいと思うわけで、単に最小二乗法の結果だよ、と言われても納得できないですよね。 ですから 4.1 という数値にもそれが生まれてくるための合理性と整合性があるんだよ、ということを後知恵のこじつけで解釈すれば No11 の如きストーリーになるのですね。

それにしても、日本の形状が偶然細長い折れ線型だったというのは 4.1 の出現に大きく寄与していると思います。
ユタ州のように正方形に近い形状の地域で同様の計算を行ったら、まず間違いなく経度差に対する係数としては 4.0 が得られるでしょう。緯度差に対する係数も一応のものがもちろん得られますが、そのままでは広い範囲を一次式で近似することになってしまいますので、地域によって誤差が要求精度より大きかったら、二次式にするなどの対応が必要になるのではないでしょうか。

なお、この問題を考えていたときに気づいた点をいくつか挙げておきます。

(1) グローバルな要因とローカルな要因
日出入時刻が経度差の１度あたり４分の割合で変化するというのは地球の自転に起因するものですから、地球上のどこでも同じファクターが適用されるという意味でグローバルです。４分からのズレの要因として、公転軌道の形状や軌道面の傾斜角を考慮するにしてもそれらもまたグローバルであると考えられます。
A.No4 さんもおっしゃるとおり、4分と4.1分の違いは地球を一周すれば蓄積して一昼夜で36分にもなります。四捨五入を考慮しても18分以上です。これは事実と反しますから4分という値はグローバルだが、4.1分という値はグローバルではあり得ないと考えざるを得ません。すると0.1分の部分の主要な要因はローカルでなければならず、グローバルな要因の中のどれかが影響しているとしても副次的な役割以上ではありません。

(2)　 (4.1, -3) は近似式の係数の組である。
いくつかの地点の2005年1月1日の日の出時刻を調べてみました。いずれも同緯度です。

地点　　　　　 緯度　　　　 経度　　 日の出時刻
東京　　　　　　N35°.7　　　E139°.7　　　6:51
福井県小浜市　　N35°.7　　　E135°.7　　　7:07
青島付近(中国)　N35°.7　　　E119°.7　　　8:11
太平洋　　　　　N35°.7　　　E159°.7　　　5:31
(出典: USNO Sunrise/Sunset)

東京を基準として西に4度の小浜市で日の出が16分遅く、西に20度離れた青島では80分遅い日の出となります。　また、東に20度離れた太平洋上の地点では東京より80分早く太陽が昇ります。
天文年鑑の近似式に従って計算するならば、小浜市では日の出が16.4分遅くなるはずです。これは誤差の範囲内なので置いておくとして、東西に20度離れた地点では82分早まったり遅れたりするはずですが、そうはなっていません。
このことは、近似係数の 4.1 という数値に本質的な意味はなく、アドホックに得られた値であり、経度差に対する係数は　4.0　が本筋であることを示唆しています。
従って、4.1 などの、経度差に対する係数だけの単独数値に意味を見出そうとする試みは、成就しないだろうと思います。(USNO にチャレンジするのはあまりにも無謀すぎる)
やはり、(4.1, -3) という近似式の係数の組として、まとめて理解するしかないのではないでしょうか。

お礼

sunspot_numberさん、takugさん、ご回答ありがとうございます。

>東西に20度離れた地点でも80分

　単純に経度だけ考えると、係数は4.0なんですね。

>最小二乗法で誤差が最小となる係数の組 a, b を求める
>ここで得られた係数 a, b はサンプル地点の分布を反映したもの

　ははぁ、わかって来ました。
　サンプルは、おそらく、列島の形に沿った場所から、たくさん選択されているはずですね。少なくとも、各都道府県庁所在地を選択すると、そうなります。そうすると、折れ線近似をしたのに近い値になってくるのではないでしょうか。
　もし、東京を中心とした四角形（ユタ州みたいな形 ^^;) の中から、ランダムに（あるいは１度間隔とかで均等に）サンプルを選んだら、係数は4.0になったのでしょう。

　折れ線近似を意図的に行なったのではなくても、結果的に、それに近い値が得られたってことで。
　puni2さん、如何でしょうか。

　あと、アメリカでの時刻計算に応用するには、4.0で大丈夫ということで間違いなさそうですね。実はそこが、一番切実な問題でしたので(^^;)。

　薄明継続時間も、同じ理屈でしょうか。
　すみません、今日は天文年鑑を会社に置いてきてしまいましたので、数字を確認できません(^^;)。

回答No.23

rey-aw

訂正。
C=B*COS（角度）
C=B*SIN（角度）

潮汐力による海抜変化は完璧に無視しています。

回答No.22

rey-aw

皆、微分で相当な計算してるみたいだね。

／→／○／→／
左右が春秋分点。子午線に対して太陽は直角に運行。
中央が、夏至冬至。太陽が子午線と２３度傾いて移動。

この時、経度１度の距離（A）と、太陽の見える角度との距離の違いは、
COS（角度）*（A)

これで結論されたらたまったもんじゃない。

但し、角度が変化しても地球の自転速度は変わらない。
２４時間で一周。
４．０も、不変。
太陽は、１時間１５度。

経度１度辺りの楕円係数をBとすると、
見える角度が変わると、その楕円係数Cは、
C=B*COS（角度）

季節的には、同じ太陽角度で日のでは数分変化する。
が、完璧に無視。

角度が高くなると係数は変わる。
つまり、日によって、４．０は微細な変化がある。

この楕円係数が高いと、４．０を超えてしまう。
低ければ４．０を下回る。

楕円がきつければ、相当な時刻の不一致も想像出来る。数分の狂いも考えられる。
（緯度のみの解説）

しかし、これは、ただ単に、見える、見えないの、身長の違いとも言える。
地理適な要素であり、

天体運行については、
微細な運動や、南中角度などの要素を完全に無視すれば、

地球の自転は不変であり、（２４時間）
太陽の移動角度も一定である。
日の出以前の運行も、それ以降の運行も、全く変化はしない。

回答No.21

puni2

こんばんは。
実は前回の回答のあと，昨日（9日）の朝に通勤電車の中で，理科年表（2005年版）を見ながら，HP社の電卓（10年近く前のものですが）を叩いて最小二乗法の計算をしてみました。
ただ，昨日はパソコンに向かわなかったので（サッカーを見て，あとは寝てしまった）先を越されてしまいました。(^^;
せっかくなので，私のささやかな結果も書かせてくださいね。(^^;

使用したデータは2005年1月1日の日出時刻です。
一応，有効数字4桁で書いておきます（多少過剰気味ですが）。
まず，東京，札幌，福岡の3地点を使ったところ，(a, b)=(4.073, -2.910)でした。
これに大阪を追加すると，(4.052, -2.906)
さらに根室，那覇を追加すると，(4.196, -2.851)
bのほうは，地点を増やすと天文年鑑の-3.0からはズレる方向にあるようにも見えますが，こんな少ない地点数でこの程度の違いを云々してもあまり意味がないかもしれませんね。

ここで，回答No.15に「ユタ州のように正方形に近い形状の地域で同様の計算を行ったら、まず間違いなく経度差に対する係数としては 4.0 が得られるでしょう」とあったので，小笠原を追加してみたところ，なんと(4.001, -2.588)となりました。
こんなにぴったり4になるとは（偶然の部分もあるだろうけど）ちょっとびっくりです。

そんなわけで，No.19の:
>微細な変動もひっくるめて、誤差がある範囲以内に収まればよい、という近似式であると理解するのがよさそうです。
に私も一票。
（そして，「名問題」とのご指摘にも一票。）

実際に数値を計算してみると，あらためてNo.11, 15の説明がリアルにイメージされました。
「観測点は基準点（東京）から西南西方向と北（～北北東）方向の2方向に分布している」という前提（というか現実）があって，そのために結果的にこうなっているといってよさそうです。

ところで，No.17でこういう回答が寄せられました:
>回答なら＃７の一番下に２行で既出してますよ。＾＾
>質問が無かったので、理解出来ていないないと思い、それ以上の回答はしていません。

質問ならNo.13へのお礼欄に質問者さんがはっきり的確に書いていらっしゃいますね。
私からもぜひ回答をお願いします。
地球の公転軌道が楕円だと，天文年鑑の近似式の係数がなぜ4.0からずれるのか。
明確に，論理的に，かつ天文学で普通に用いられている用語を使って説明していただけると助かります。

普通の用語を使えば，それだけでかなり理解が進むのではないでしょうか。

いくつか，難しかった用語の箇所をあげますと，たとえば，No.7
>観測地点の北緯のが高低差がある場合、補正が必要になってきます。
「北緯の高低差」（「が」はタイプミスだとして）とは何でしょうか。

>北緯プラス太陽角度の距離を計算しなくてはならない。
太陽角度とは何でしょうか。　視半径？　視差？
それとも，北緯に足し算するのなら赤緯のことでしょうか。
また，太陽角度の距離とは何でしょうか。

>単純に、太陽の角度によって北緯が変化するのと同じ現象が起きる。
北緯が変化とか，観測地点の北緯が変化するということでしょうか。
それだったら，地軸の変動（極運動）とか章動のことでしょうか。
章動でも角度にしてせいぜい18″，極運動は1″にもなりません。
天文年鑑の近似式を論じるのに，そんな超精密なレベルの話が必要でしょうか。

No.12:
>公転軌道が楕円の為、
>それに伴い、黄道と太陽位置が微妙に狂う
これも章動とか歳差を指しているのでしょうか。
それならば，公転軌道が楕円のためというよりは，主に月の引力のためではなかったでしょうか。
そして，これも天文年鑑の近似式に影響するほどのものでしょうか。

No.18:
>君たちは、本当に、

どちら様か存じませんが，君たち呼ばわりされなければならない謂われはないと思います。

>公転は、必ず１度（４分）真円に移動していると思っているのかね？

真円と思っていないからこそ，均時差の話が出ているのでしょう。
そもそも，質問者さんが一番最初に，「均時差の変化だけでは分量的に説明できそうにない」と書いておられます。
でも，真円で近似できる場合や，離心率は議論に関係ない場合は，当然話を簡単にさせるため円で議論を進めるでしょう。
もし，そこまで「楕円軌道が主要因」説を強く主張するのならば，楕円楕円と一つ覚えのように単語だけ振り回すのではなく，「均時差では説明しきれない」説のどこがどう違うのか，きちんと筋道を立てて，かつ，できれば定量的に（少なくとも桁数のオーダーぐらいは示して），論じていただかないと，説明は通じないでしょう。

ところで，4分で1°回るのは，公転ではなくて自転でしょう。
それとも，自転による地球上の地点の運動軌跡は，（地球中心の座標で見たとき）楕円だったのですか？
それなら大発見。
＃とかいうと，「地球には潮汐力が働いて…」とか妙な突っ込みをされそうだけど。
＃突っ込むのもいいけれど，きちんとオーダーを評価してくださいね。

お礼

>私のささやかな結果も書かせてくださいね

　待ってました。質問をクローズせずにおきました。

>通勤電車の中で、HP社の電卓

　すごいガッツですね(^^;)。

>（4.073, -2.910）～ (4.196, -2.851)

　やはり結論としては、「観測点が基準点（東京）から西南西方向と北（～北北東）方向の2方向に分布」しているためであることを確認した形になりますね。

　これだけきれいな数字が出ているのですから、楕円云々によるものではない（楕円云々による効果は小さい）と考えて良いと思います。

　という訳で、そろそろ質問をクローズさせて頂きたいと思います。皆様ありがとうございました。
　「良回答」は、「本来なら最小二乗法」のアイデアを出されたsunspot_numberさんにも差し上げたいところなのですが、２人分しかできないようですので、takugさんとpuni2さんにしたいと思います。

回答No.20

rey-aw

なるなる。＾＾
私も似た市販プログラムで教わった覚えがあります。
春分点が基準なのまでは判りませんでしたが。＾＾；

太陽角度によって付与される条件は、
角度、日付けによって補正が必要。
影の出来方が斜め（サイン値）を要する。

南中時間は、楕円で異なる。
こうなると、日の出日の入りは変化する。
これまた補正が必要。
楕円で日の出日の入りは別に考える。
一日の公転量も違う。

思い通りには運行してくれない。
こう言いいたいんだね。多分。

軌道要素だけでこうも違うんだね。

後は、地理的要素ですね。

皆さんが必死に計算している、
地理的要素＋天体運動＝３．９～４．１
は算出されそうですね。

全部の要素が大切であり、理解した人と、計算した人間と、努力した人間が正解者んですね。

回答No.19

rey-aw

素人ですが、
puni2さんの紹介URLは、子午線と斜めになっています。
その分、プラス成分が発生しそうです。
eria77さんのプログラムで１月１日を見ると、
何故かサイン値が出てきます。
故意的に出してる？？

これで解説済み（実証済み）と言う意味なのでしょうか？

回答No.18

takug

・No15 を再検討

昨日はサンプル地点を使って最小二乗法で係数を算定するのが簡単だろうと述べました。その際、昨日は地点データを入力する時間が取れなかったので、実は主な都市だけの少数のデータを使って最小二乗法の結果を確認しただけだったのですが、改めて全県庁所在地のデータを使って検討してみました。
（手許にある理科年表が2000年版だったので、2000年1月1日を調べています）
その結果、新たな疑問が生まれました。

主要６都市で最小二乗法　(4.1, -3.0)　
県庁４６市で最小二乗法　(4.1, -2.9)

主要６都市とは、札幌、仙台、新潟、名古屋、大阪、福岡　の６市で、これらのデータを使った場合は天文年鑑に記載されている　(4.1, -3.0)　に一致した結果になるのですが、県庁所在地の46市をデータに使った場合は僅かですが不一致となります。

サンプル点数の多いほうが不一致になるのは、なぜでしょうね？　　天文年鑑に記載されている係数は意外と僅かな地点数を元にしているのでしょうか。

しかし、この計算がぴったりと合うのを期待するのは酷なのかもしれません。
元となる時刻データは基準地の東京を含めて分単位でしか表されていないので、四捨五入の状況ですぐに結果が変わります。基準地東京の経度も、2000年版天文年鑑には１３９°.８　と記載されていました。これも１３９°.７を採用した場合とでは結果が変わってきます。
要するにそれらの微細な変動もひっくるめて、誤差がある範囲以内に収まればよい、という近似式であると理解するのがよさそうです。

・それにしてもこの問題は奥が深いですね。なかなか楽しませてくれます。
目の前にあっても気づかなかった事といい、指摘されるとすぐにおかしいと判る事といい、教科書をめくっても解が判らない事といい、正に名問題の資格を十分に備えています。私は普段は掲示板サイトのようなところは軽く見流すだけで発言はめったにしないのですが、この問題を見つけて俄然意欲をかきたてられ、新たにメンバー登録をして仲間に入れさせていただきました。
質問者のhal-9000様、名問題ありがとうございました。これからもよろしくお願いいたします。

お礼

>改めて全県庁所在地のデータを使って検討してみました

　どうも、手数のかかることを、ありがとうございます。

>ぴったりと合うのを期待するのは酷なのかも

　そう思います。
　最小二乗法の計算結果を元に、サンプルが何だったのかを推定する、というのは、かなり難しい課題だと思いますよ。ましてや、１分単位のデータしかないのですから。

>意外と僅かな地点数を元に

　案外、そうかもしれませんね。

>名問題

　いや、お恥ずかしい(^^;)。
　また、問題を考えなくては(^^;)。今後ともよろしくお願い致します。

回答No.17

eria77

回答なら＃７の一番下に２行で既出してますよ。＾＾
質問が無かったので、理解出来ていないないと思い、それ以上の回答はしていません。

４．１についても解説はしていますが、これも質問が無かったので、回答していません。

質問のあった楕円プログラムについての質問に回答しています。

それから、月の運行ですが、誰も勘違いはしていません。
新月以外、昼間いつでも見えると言う回答は、
自己満足になってしまい、相手に月の運行を理解させる事は困難になってしまうと考えています。
疑問は、下弦の時生じるからです。

「暦（こよみ）」
半月７日、満月１５日、昼半月２２日。
この説明が運行を理解しやすいのです。

既出ですが、ここまで複雑な運行をする地球を、ただ単に、太陽暦として捕らえて良いのでしょうか？

暦を読むと、回答が得られるとは思えないのです。
暦と天体運行はかけ離れている。
これが私の計算結果です。

現に、暦を読んでも説明出来ない事象です。

回答No.16

puni2

>puni2さん、如何でしょうか。

振られてしまいました(^^;)
いろいろ考えてみたのですが，私もNo.15さんがおっしゃっているようなことではないかな，という方向に傾きつつあります（まだ最小自乗法は試していませんし，理論的にもちょっとあやふやなのですが）。

No.11でも言及されている明暗境界線（いいかえれば，等日出時刻線ですね）を一つ見つけました。
http://www1.kaiho.mlit.go.jp/KOHO/hatsuhi/hinodezu.htm
初日の出の時刻です。
春分・秋分のころだと，この一連の線はほぼ南北になり，夏至の頃だと反対に北に行くほど西に傾くわけですね。

さて，この図では，緯線・経線は直交し，等間隔に目盛ってあります。
この図中の任意の地点を基準として，そこから東西に移動したとすると，おそらくどの季節であっても，時刻の変化は4min/°であって，4.1や3.9にはならない（ですよね？）。
したがって，やはり4.1や3.9という値はNo.15の回答でおっしゃっているように解釈するのが自然なように思われます。
一方，南北に移動した場合，つまりbの値が季節変化するのは自明でしょう。

さて，等日出時刻線は，一見して明らかなとおり，北に行くほど右（東）にカーブしています。
冬至の直後なので，北緯66.6°のちょっと北まで北上すると，東西になり，今度は等日没時刻線として南下するわけですね。
そして，天文年鑑の式は，この曲線群を，日本付近に限定して，平行な直線群で近似するための一種の実験式，と位置づけることができそうです。

No.11:
>現代では二次または三次の近似式の係数を表で与えて緯度差に対する補正に用い、経度差に対しては1度あたり４分を固定的に用いるのが妥当ではないかと個人的には思います。

私も同感です。この緯度差補正を一つの数字だけで済まそうとしたところに問題（というと大げさですが）があったといえるでしょうね。

『理科年表』では，第1表（経度差を補正する表）と第2表（緯度差を補正する表）がありますが，第1表は単に計算の手間を省くためのもので，内容は「1°当たり4minで固定」そのものです。
第2表は北緯20°～50°まで1°きざみですが，隣接する値の差（天文年鑑のbに相当するもの）が，最初は4程度なのが，等日出時刻線のカーブを反映して，北に行くほど徐々に大きくなっているのが分かります。
さらに，太陽の赤緯による等日出時刻線の傾き具合の変化を表すファクターとして第3表が用意され，これを第2表の値にかけます。
以上の手順によって，天文年鑑のように「b×緯度差」とするのではなく，最初からその緯度差に対応する補正値を求めようとしていることになります。

ただ，もっと正確に求めようとすると，第2表という単一の表に第3表をかければよいのではなく，季節によって第2表そのものを変化させなくてはなりません（春分・秋分前後では，緯度によるbの値の変化はほとんどなくなる）。
そこで，『天体位置表』や『英米暦』ではこの点をもっと徹底して，最初から「それぞれの緯度における日出の時刻」を用意してしまいました。
天体位置表では，0°（赤道）～北緯・南緯50°まで10°ないし5°刻み，英米暦では0°～北緯・南緯66°まで10°ないし2°刻みです。
赤道から遠ざかるにつれ，直線近似が難しくなるので，刻みを小さくして，補間しやすくしています。
これは結局，それぞれの緯度における「第2表×第3表」を全ての日付（4日ごと）について用意したのと同じことですね。
なおどちらも，経度の補正については「経度差×4分」で固定して計算させています。
したがって，

>あと、アメリカでの時刻計算に応用するには、4.0で大丈夫ということで間違いなさそうですね。実はそこが、一番切実な問題でしたので(^^;)。

大丈夫だと思います。

>薄明継続時間も、同じ理屈でしょうか。
だと思います。
天文年鑑では，a=0.1から0.3の値になっていますが，このまま地球を東回りに一周すると，薄明時間が季節によっては100分ぐらい長くなる…なんてわけはないですから，これこそNo.15で指摘されたローカルな要因でなくてはなりません。

（話の流れもあって，あれこれ書きましたが，みなさまには既に自明のことも多いかと思います。）

残る仕事は，最小自乗法を試してみることと，eria77さんの回答をどう考えるか，かな。
後者はあんまり考えちゃいけないような気もしているのですが，他の皆さんの回答とはどうみても異色な上に難解なので，つい考えてしまいます。

参考URL：

http://www1.kaiho.mlit.go.jp/KOHO/hatsuhi/hinodezu.htm

お礼

>振られてしまいました(^^;)

　振りに乗って頂いて有難うございます。

>『理科年表』では

　今朝、このレスをチラッと見て、帰りに理科年表を買ってきたのですが、サッカーを見終わって、つい祝杯を挙げてしまいました(^^;)。ちょっと難しいことは考えられない頭になっていますので、また明日コメントしますね。
　エリア77さん、takugさんも、どうもすみません。

補足

「補足」ではなく、昨日飲んでしまったため書けなかったコメントおよびお礼です。

>明暗境界線を見つけました

　これは、この説明にぴったりの図ですね。

>『理科年表』では，第1表（経度差を補正する表）
>「1°当たり4minで固定」そのもの

　まさに、その通りですね。
　つまり、緯度による補正をキッチリやれば、経度による補正は4.0で良いということに。

　理科年表って、最近はあまり贔屓にしていなかったのですが(^^;)。結構天文のデータも載っているんですね。学生の頃、物理化学では使っていたんですけど(^^;)。見てみて良かったです。

>薄明継続時間

　夏と冬で非対称なのがちょっと気になりますが、同じ理屈でだいたい説明がつきそうですね。

>残る仕事は，最小自乗法を試してみること

　takugさんにやって頂いちゃいました(^◇^)。

　puni2さん、いろいろありがとうございました。

回答No.14

sunspot_number

回答No.8ではピントはずれの書き込みをしてしまい誠に申し訳ありません。

ご指摘のとおりこの式は「天体の」とあって太陽や惑星とかの区別無くあくまでも太陽系外の恒星と同じく、この式で計算する場所は基になる場所の近くなのでその間の天体の赤経赤緯の変化は無視したものとなっています。

また、Δhの算式を見ればΔφが掛け算で後の部分に掛かるので同じ緯度の観測地だとΔφ=0ですから、経度が１度違うとどうなるというと3.989分しか効いてきませんね。
ですから今回のご質問の回答にはふさわしくありません。

係数aの変化を見ますと表示は小数点以下第一位までなので同じ値が続きますが、日の出の場合は夏至の辺りが最小で冬至の辺りで最大になるようです。やはり太陽の赤緯の影響が大きいのでしょうか。
それともeria77さんが仰るように地球の楕円軌道による太陽の天球上での移動速度の変化によるものでしょうか。

『天文年鑑』の副読本の内の一つである
天文年鑑編集委員会編「天文年鑑活用ハンドブック」　誠文堂新光社　ISBN4-416-28702-X C0044　昭和62年3月25日発行　現在は絶版だと思います。
によりますと基地としての東京の経緯度は東経139°46',北緯35°41'だそうです。

係数a,bについてはこの本に言葉でさらっと説明があるだけで
要点は、No.3でpuni2さんが書かれている
＞（本来は，λとφについての多項式になるのですが，計算が大変になるの
＞で，その2次以降の項を省略して近似式としたものです。）
と同様です。

具体的にこれらの係数を簡単に算出しようと思えば私の頭のレベルでは基地を中心として、
係数aは東西方向の前後1度差の地点の日出没時刻を計算してその差を採る。
同様に係数bは南北方向の前後1度差の地点の日出没時刻を計算してその差を採る。
という方法がまず浮かびます。

ただそれだけだと対象地域である日本国内では絶対誤差である時刻が±幾らというのが大きくなるかもしれません。
日本で人が住むか常駐しているのは西端が与那国島、東端が南鳥島、北端が択捉島、南端が波照間島だでしょうか？
それらの範囲内でこの誤差が最小になるような係数を選ぶのではないかと想像します。

私も太陽の出没時刻計算のプログラムを作って調べようと始めました。
何か成果を発表できればいいのですが。

私も他の方々の回答を拝見してすごく勉強になり感謝しています。

回答No.13

eria77

>具体的には、楕円であると、どのような仕組みで出没時が変わるのでしょうか。

日の出日の入り時刻の求め方ですが、
回転軸からの太陽の角度によって（計算済み）昼、夜の長さ（影の出来方）が変わります。
（日の長さ、３６０-角度）
南中時間と、日の長さ（角度）を計算すれば、
日の出日の入りは案外楽に計算は可能です。

しかし、どうも計算が合致しないのです。
冬至の日の出は、６時４６分。
理論上（円ならば）ここから日が上がるのですが、
更に日の出は遅くなります。
１月８日に６時５０分。
この日は計算では６時４４～３分でなくてはなりませんから、
７分もズレが生じてしまいます。
この計算ズレが、楕円の為に生じます。

記憶に浅いのですが、実際の日の出表、均時差表の比較では、合致したのは４日のみであったと思います。

※冬に、夕方は５時でも明るくなったが、朝はぜんぜん早くならないよ。逆に遅くなってるみたいだ。

こう言う事を聞いた事があると思います。
楕円では、南中時間（中心角度）が偏移するからです。

お礼

eria77さん、度々ありがとうございます。

>>具体的には、楕円であると、どのような仕組みで出没時が変わるのでしょうか。

　すみません、端折って書きましたが、「地球の形状あるいは地球軌道が楕円であると、どうして、日出没時の経度による補正係数が3.9や4.1になるのか」という質問です。
　地球軌道が楕円であることに伴い、均時差が生じ、南中時刻や日出没時がお昼と非対称になることは知っています。また、均時差によっては、経度による補正係数が3.9や4.1になることは説明できないと、最初の質問で述べております。