日出没時の補正量が「経度１度あたり４分」とは微妙に異なる理由

質問

天文年鑑には、日本の各地における、日出没時と天文薄明継続時間の計算方法（東京との緯度経度差から値を補正する式と定数）が載っています。
　2005年版の小型の奴なら70ページです。

　日出没時の補正量（東京との差）について、経度が１度東に行くと４分早くなることは理解できるのですが、この「４分」が、3.9分だったり4.1分だったりすることがあります。その理由が理解できません。
　これは何故なのか、教えて頂けますか。

　また同様に、天文薄明継続時間も、経度１度につき0.1～0.3分の補正があります。これの理由も理解できませんので、教えて頂けますか。

　なお、４分という時刻の差（から来る地球の位置の差）に伴う、日出没時刻の変化や、均時差の変化（例えば12月21日18:00と同日18:04との均時差の違い）は考えたのですが、それだけでは分量的に説明できそうにありません。

回答No.21

puni2

こんばんは。
実は前回の回答のあと，昨日（9日）の朝に通勤電車の中で，理科年表（2005年版）を見ながら，HP社の電卓（10年近く前のものですが）を叩いて最小二乗法の計算をしてみました。
ただ，昨日はパソコンに向かわなかったので（サッカーを見て，あとは寝てしまった）先を越されてしまいました。(^^;
せっかくなので，私のささやかな結果も書かせてくださいね。(^^;

使用したデータは2005年1月1日の日出時刻です。
一応，有効数字4桁で書いておきます（多少過剰気味ですが）。
まず，東京，札幌，福岡の3地点を使ったところ，(a, b)=(4.073, -2.910)でした。
これに大阪を追加すると，(4.052, -2.906)
さらに根室，那覇を追加すると，(4.196, -2.851)
bのほうは，地点を増やすと天文年鑑の-3.0からはズレる方向にあるようにも見えますが，こんな少ない地点数でこの程度の違いを云々してもあまり意味がないかもしれませんね。

ここで，回答No.15に「ユタ州のように正方形に近い形状の地域で同様の計算を行ったら、まず間違いなく経度差に対する係数としては 4.0 が得られるでしょう」とあったので，小笠原を追加してみたところ，なんと(4.001, -2.588)となりました。
こんなにぴったり4になるとは（偶然の部分もあるだろうけど）ちょっとびっくりです。

そんなわけで，No.19の:
>微細な変動もひっくるめて、誤差がある範囲以内に収まればよい、という近似式であると理解するのがよさそうです。
に私も一票。
（そして，「名問題」とのご指摘にも一票。）

実際に数値を計算してみると，あらためてNo.11, 15の説明がリアルにイメージされました。
「観測点は基準点（東京）から西南西方向と北（～北北東）方向の2方向に分布している」という前提（というか現実）があって，そのために結果的にこうなっているといってよさそうです。

ところで，No.17でこういう回答が寄せられました:
>回答なら＃７の一番下に２行で既出してますよ。＾＾
>質問が無かったので、理解出来ていないないと思い、それ以上の回答はしていません。

質問ならNo.13へのお礼欄に質問者さんがはっきり的確に書いていらっしゃいますね。
私からもぜひ回答をお願いします。
地球の公転軌道が楕円だと，天文年鑑の近似式の係数がなぜ4.0からずれるのか。
明確に，論理的に，かつ天文学で普通に用いられている用語を使って説明していただけると助かります。

普通の用語を使えば，それだけでかなり理解が進むのではないでしょうか。

いくつか，難しかった用語の箇所をあげますと，たとえば，No.7
>観測地点の北緯のが高低差がある場合、補正が必要になってきます。
「北緯の高低差」（「が」はタイプミスだとして）とは何でしょうか。

>北緯プラス太陽角度の距離を計算しなくてはならない。
太陽角度とは何でしょうか。　視半径？　視差？
それとも，北緯に足し算するのなら赤緯のことでしょうか。
また，太陽角度の距離とは何でしょうか。

>単純に、太陽の角度によって北緯が変化するのと同じ現象が起きる。
北緯が変化とか，観測地点の北緯が変化するということでしょうか。
それだったら，地軸の変動（極運動）とか章動のことでしょうか。
章動でも角度にしてせいぜい18″，極運動は1″にもなりません。
天文年鑑の近似式を論じるのに，そんな超精密なレベルの話が必要でしょうか。

No.12:
>公転軌道が楕円の為、
>それに伴い、黄道と太陽位置が微妙に狂う
これも章動とか歳差を指しているのでしょうか。
それならば，公転軌道が楕円のためというよりは，主に月の引力のためではなかったでしょうか。
そして，これも天文年鑑の近似式に影響するほどのものでしょうか。

No.18:
>君たちは、本当に、

どちら様か存じませんが，君たち呼ばわりされなければならない謂われはないと思います。

>公転は、必ず１度（４分）真円に移動していると思っているのかね？

真円と思っていないからこそ，均時差の話が出ているのでしょう。
そもそも，質問者さんが一番最初に，「均時差の変化だけでは分量的に説明できそうにない」と書いておられます。
でも，真円で近似できる場合や，離心率は議論に関係ない場合は，当然話を簡単にさせるため円で議論を進めるでしょう。
もし，そこまで「楕円軌道が主要因」説を強く主張するのならば，楕円楕円と一つ覚えのように単語だけ振り回すのではなく，「均時差では説明しきれない」説のどこがどう違うのか，きちんと筋道を立てて，かつ，できれば定量的に（少なくとも桁数のオーダーぐらいは示して），論じていただかないと，説明は通じないでしょう。

ところで，4分で1°回るのは，公転ではなくて自転でしょう。
それとも，自転による地球上の地点の運動軌跡は，（地球中心の座標で見たとき）楕円だったのですか？
それなら大発見。
＃とかいうと，「地球には潮汐力が働いて…」とか妙な突っ込みをされそうだけど。
＃突っ込むのもいいけれど，きちんとオーダーを評価してくださいね。

お礼

>私のささやかな結果も書かせてくださいね

　待ってました。質問をクローズせずにおきました。

>通勤電車の中で、HP社の電卓

　すごいガッツですね(^^;)。

>（4.073, -2.910）～ (4.196, -2.851)

　やはり結論としては、「観測点が基準点（東京）から西南西方向と北（～北北東）方向の2方向に分布」しているためであることを確認した形になりますね。

　これだけきれいな数字が出ているのですから、楕円云々によるものではない（楕円云々による効果は小さい）と考えて良いと思います。

　という訳で、そろそろ質問をクローズさせて頂きたいと思います。皆様ありがとうございました。
　「良回答」は、「本来なら最小二乗法」のアイデアを出されたsunspot_numberさんにも差し上げたいところなのですが、２人分しかできないようですので、takugさんとpuni2さんにしたいと思います。