jcpmutura の回答履歴

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ルベーグ積分と複素積分の関係についての質問です。 先ず,定義等を説明させてください。 (Ω,∑)を可測集合とする。 (1) μ:∑→Cを0=μ(φ)≦|μ(G)|<+∞ for ∀G∈∑. (2) {G_k}_{k=1}^∞⊂∑が互いに素 ⇒ |μ(∪_{k=1}^∞}G_k)|=∑_{k=1}^∞|μ(G_k)| を満たす時,μは複素測度をなすという。 次にB(C)をC上のボレル集合体,A:={{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}∈2^C;a,b∈C}}を表すとする。この時, ∀a,b∈Cに対して,μ_0:A→CをA∋∀{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}→μ_0({x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}):=Re(b)-Re(b)+i(Im(b)-Im(a))と定義すると, μ|_A=μ_0でμ:B(C)→Cが複素測度となるようなものが一意的に存在する(∵拡張定理)。 次に,測度空間(Ω,∑,μ)において,f:Ω→Cを∑可測関数とし,f_Re^±(z):=max{0,±Re f(z)},f_Im^±(z):=max{0,±Im f(z)} (複合同順)と定義すると, これらは実数値関数で Re f_k \nearrow f_Re^±(z), Im f_k \nearrow f_Im^±なる∑可測な単関数の列 (Re f_k)_{k=1}^∞,(Im f_k)_{k=1}^∞ が存在する(∵某命題)。 因みに,∑可測な単関数 Re f_kにはRe f_k(z)=∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z) (但し,a_m∈R,G_m∈∑, I_{G_m}は特性関数) なる(a_m)_{m=1}^k∈R^kと(G_m)∈∑^kが存在する。 この時, ∫_Ωfμ:= sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^+(z) for∀z∈Ω} -sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^-(z) for∀z∈Ω} +i[sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^+(z) for∀z∈Ω} -sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^-(z) for∀z∈Ω}] をfのルベーグ積分という。 続いて,ルベーグ積分に基づく複素積分の定義です。 J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列}, δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。 この時, lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{ ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) - ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) + i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) - ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])} ={l} (ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という。 因みに, J([a,b])は閉集合なのでルベーグ可測集合であり, inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1}))はルベーグ積分でのa_mに相当, そして, (J(p_m),J(p_{m+1})]はルベーグ積分でのG_mに相当してます。 さて,本題ですが、、 Jがジョルダン閉曲線の場合,始点と終点は重なってるので μ(J([a,b]))=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) μ((J(p_m),J(p_{m+1})])=0 となり,J[a,b]は零集合になると思います。 そこでf:C→CはJ([a,b])上とJの内部で正則な関数とし,c∈CはJ内部の点とする時, 1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz=f(c) となりますよね(コーシの積分公式)? しかしJ([a,b])は零集合なのでfやcのいかんにかかわらず常に積分値は0となってしまうと思うんです。 、、なので コーシーの積分公式は 1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz≡0 となってしまい矛盾が生じてしまいます。 私は何処を勘違いしてるのでしょうか?

　数列 { a[n] } を次のように定める。 (i)a[1] = 0 (ii)n = 2, 3, 4, … に対し a[n-1] ≧ n のとき a[n] = a[n-1] - n a[n-1] < n のとき a[n] = a[n-1] + n とする。 (1)a[7] を求める。 (2)a[k] = k のとき、条件 m > k、a[m] = m を満たす最小の整数 m を k で表す。 (3)a[2018]を求める。 　昨夜 https://okwave.jp/qa/q9573183.html で同じ質問をした者です。せっかく回答いただいたのに、ぱっと見でわかったと勘違いしてました。じっくり取り組んだら全然理解していませんでした（笑）。 (2) 　　a[k] = k (kは自然数) より n = k+1 のとき a[k] = k < k+1 なので 　　a[k+1] = a[k] + (k+1) = 2k + 1. 　n = k+2 のとき a[k+1] = 2k + 1. 　　2k+1 - (k+2) = k - 1 ≧ 0. 　したがって 　　a[k+2] = k-1. 　ある自然数 j < k に対して 　　a[k+2j-1] = 2k + j 　　a[k+2j] = k - j と仮定する。 　n = k+2j+1 のとき 　　a[k+2j] - k+2j+1 　= (k-j) - (k+2j+1) = -3j-1 < 0 だから、a[n]の定義により 　　a[k+2j+1] = a[k+2j] + k+2j+1 　　　　　　　= (k-j) + k+2j+1 　　　　　　　= 2k + j + 1. 　n = k+2j+2 のとき 　　a[k+2j+1] - (k+2j+2) 　　(2k+j+1) - (k+2j+2) = k - j - 1 ≧ 0　( j < k なので k - j ≧ 1 ) だから 　　a[k+2j+2] = a[k+2j+1] - k+2j+2 　　　　　　　= (2k+j+1) - k+2j+2 　　　　　　　= k - j - 1. 　ここまでは何とか解読しました（笑）。 　まとめると、ある自然数 j < k に対して 　　a[k+2j-1] = 2k + j 　　a[k+2j] = k - j と仮定したとき 　　a[k+2j+1] = 2k + j + 1 　　a[k+2j+2] = k - j - 1 が成立するわけですが、ここから > 　j + 1 < k ならば全ての自然数 j < k に対して >　　a[k+2j-1] = 2k + j >　　a[k+2j] = k - j ・・・・・ (2.1) > が成り立つ が、わかりにくいです。数学的帰納法を使うのでしょうが、どう適用すればいいのかわかりません。

ルベーグ積分と複素積分の関係についての質問です。 先ず,定義等を説明させてください。 (Ω,∑)を可測集合とする。 (1) μ:∑→Cを0=μ(φ)≦|μ(G)|<+∞ for ∀G∈∑. (2) {G_k}_{k=1}^∞⊂∑が互いに素 ⇒ |μ(∪_{k=1}^∞}G_k)|=∑_{k=1}^∞|μ(G_k)| を満たす時,μは複素測度をなすという。 次にB(C)をC上のボレル集合体,A:={{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}∈2^C;a,b∈C}}を表すとする。この時, ∀a,b∈Cに対して,μ_0:A→CをA∋∀{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}→μ_0({x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}):=Re(b)-Re(b)+i(Im(b)-Im(a))と定義すると, μ|_A=μ_0でμ:B(C)→Cが複素測度となるようなものが一意的に存在する(∵拡張定理)。 次に,測度空間(Ω,∑,μ)において,f:Ω→Cを∑可測関数とし,f_Re^±(z):=max{0,±Re f(z)},f_Im^±(z):=max{0,±Im f(z)} (複合同順)と定義すると, これらは実数値関数で Re f_k \nearrow f_Re^±(z), Im f_k \nearrow f_Im^±なる∑可測な単関数の列 (Re f_k)_{k=1}^∞,(Im f_k)_{k=1}^∞ が存在する(∵某命題)。 因みに,∑可測な単関数 Re f_kにはRe f_k(z)=∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z) (但し,a_m∈R,G_m∈∑, I_{G_m}は特性関数) なる(a_m)_{m=1}^k∈R^kと(G_m)∈∑^kが存在する。 この時, ∫_Ωfμ:= sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^+(z) for∀z∈Ω} -sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^-(z) for∀z∈Ω} +i[sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^+(z) for∀z∈Ω} -sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^-(z) for∀z∈Ω}] をfのルベーグ積分という。 続いて,ルベーグ積分に基づく複素積分の定義です。 J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列}, δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。 この時, lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{ ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) - ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) + i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) - ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])} ={l} (ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という。 因みに, J([a,b])は閉集合なのでルベーグ可測集合であり, inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1}))はルベーグ積分でのa_mに相当, そして, (J(p_m),J(p_{m+1})]はルベーグ積分でのG_mに相当してます。 さて,本題ですが、、 Jがジョルダン閉曲線の場合,始点と終点は重なってるので μ(J([a,b]))=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) μ((J(p_m),J(p_{m+1})])=0 となり,J[a,b]は零集合になると思います。 そこでf:C→CはJ([a,b])上とJの内部で正則な関数とし,c∈CはJ内部の点とする時, 1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz=f(c) となりますよね(コーシの積分公式)? しかしJ([a,b])は零集合なのでfやcのいかんにかかわらず常に積分値は0となってしまうと思うんです。 、、なので コーシーの積分公式は 1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz≡0 となってしまい矛盾が生じてしまいます。 私は何処を勘違いしてるのでしょうか?

ルベーグ積分と複素積分の関係についての質問です。 先ず,定義等を説明させてください。 (Ω,∑)を可測集合とする。 (1) μ:∑→Cを0=μ(φ)≦|μ(G)|<+∞ for ∀G∈∑. (2) {G_k}_{k=1}^∞⊂∑が互いに素 ⇒ |μ(∪_{k=1}^∞}G_k)|=∑_{k=1}^∞|μ(G_k)| を満たす時,μは複素測度をなすという。 次にB(C)をC上のボレル集合体,A:={{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}∈2^C;a,b∈C}}を表すとする。この時, ∀a,b∈Cに対して,μ_0:A→CをA∋∀{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}→μ_0({x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}):=Re(b)-Re(b)+i(Im(b)-Im(a))と定義すると, μ|_A=μ_0でμ:B(C)→Cが複素測度となるようなものが一意的に存在する(∵拡張定理)。 次に,測度空間(Ω,∑,μ)において,f:Ω→Cを∑可測関数とし,f_Re^±(z):=max{0,±Re f(z)},f_Im^±(z):=max{0,±Im f(z)} (複合同順)と定義すると, これらは実数値関数で Re f_k \nearrow f_Re^±(z), Im f_k \nearrow f_Im^±なる∑可測な単関数の列 (Re f_k)_{k=1}^∞,(Im f_k)_{k=1}^∞ が存在する(∵某命題)。 因みに,∑可測な単関数 Re f_kにはRe f_k(z)=∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z) (但し,a_m∈R,G_m∈∑, I_{G_m}は特性関数) なる(a_m)_{m=1}^k∈R^kと(G_m)∈∑^kが存在する。 この時, ∫_Ωfμ:= sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^+(z) for∀z∈Ω} -sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^-(z) for∀z∈Ω} +i[sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^+(z) for∀z∈Ω} -sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^-(z) for∀z∈Ω}] をfのルベーグ積分という。 続いて,ルベーグ積分に基づく複素積分の定義です。 J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列}, δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。 この時, lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{ ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) - ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) + i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})]) - ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])} ={l} (ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という。 因みに, J([a,b])は閉集合なのでルベーグ可測集合であり, inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1}))はルベーグ積分でのa_mに相当, そして, (J(p_m),J(p_{m+1})]はルベーグ積分でのG_mに相当してます。 さて,本題ですが、、 Jがジョルダン閉曲線の場合,始点と終点は重なってるので μ(J([a,b]))=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) μ((J(p_m),J(p_{m+1})])=0 となり,J[a,b]は零集合になると思います。 そこでf:C→CはJ([a,b])上とJの内部で正則な関数とし,c∈CはJ内部の点とする時, 1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz=f(c) となりますよね(コーシの積分公式)? しかしJ([a,b])は零集合なのでfやcのいかんにかかわらず常に積分値は0となってしまうと思うんです。 、、なので コーシーの積分公式は 1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz≡0 となってしまい矛盾が生じてしまいます。 私は何処を勘違いしてるのでしょうか?