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(続)これってコーシーの積分公式の矛盾!?
jcpmuturaの回答
- jcpmutura
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それはもはやルベーグ積分ではありません 複素ルベーグ積分は ルベーグ測度として 実面積測度(複素数a,bの間の長方形の面積) μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)| を定義した 面積分です 一方、複素積分は 曲線上の線積分(に近いもの)なので 次元が違うので 複素積分をルベーグ積分で表す事は無理です 例え表す事ができても 複素積分で簡単に表現できるものが 非常に複雑難解なものになってしまうため 通常、複素積分をルベーグ積分で定義しません
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補足
ご回答誠に有難うございます。 > それはもはやルベーグ積分ではありません そうですね。私が定義した測度はルベーグ積分ではありませんね。μ積分と呼ぶべきでした。 > 複素ルベーグ積分は > ルベーグ測度として : > 通常、複素積分をルベーグ積分で定義しません という事で,複素積分をμ積分で定義する事を試みるに言葉を変更いたします。 さて,測度をどう決めるか一番の問題点なのですね。 やはり当初のとおり, A:={('a,b]'∈2^C;a,b∈C} (但し('a,b]':={x+yi∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]})について, μ_0 : A→C をA∋∀('a,b]'→μ_0 (('a,b]'):=b-aと定義すると,可算加法性を満たします。 例: a=0, b=1+2i, c=-1/2+3i, d=-3+4iとすると μ_0(('a,b]')=1+2i, μ_0(('b,c]')=-1/2+3i-(1+2i)=-3/2+i, μ_0(('c,d]')=-3+4i-(-1/2+3i)=-5/2+i で μ_0(('a,b')+μ_0(('b,c')+μ_0(('c,d')=1+2i-3/2+i-5/2+i=-3+4i. 一方 ('a,b]'∪('b,c]'∪('c,d]'=('0,-3+4i]'なので μ_0(('a,d]')=-3+4i-0=-3+4i. で上手く言ってる事がわかります。 よって,μ|_A=μ_0なる複素数値の測度が存在する(∵拡張定理)。 これなら,符号付測度にも準ずるもので`向き`を表せますね。 因みに,ご紹介いただいた反例 > μ(A)=μ([0,1+i])=1+i > μ(B)=μ([-1,i])=1+i > μ(A∪B)=μ([-1,1+i])=2+i≠2+2i=μ(A)+μ(B) > だから > 測度を > μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)|+i|Im(a)-Im(b)| > と定義しても > 加法性が成り立たたないので についてですがA∪B=(0,1+i]∪(-1,i]=(-1,?]の形には表せませんので,A∪B \not∈ A で反例には成り得ません。 これで問題点は全てクリアーできたと思うのですがいかがでしょうか?