これってコーシーの積分公式の矛盾!?

質問

ルベーグ積分と複素積分の関係についての質問です。

先ず,定義等を説明させてください。

(Ω,∑)を可測集合とする。
(1) μ:∑→Cを0=μ(φ)≦|μ(G)|<+∞ for ∀G∈∑.
(2) {G_k}_{k=1}^∞⊂∑が互いに素 ⇒ |μ(∪_{k=1}^∞}G_k)|=∑_{k=1}^∞|μ(G_k)|
を満たす時,μは複素測度をなすという。

次にB(C)をC上のボレル集合体,A:={{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}∈2^C;a,b∈C}}を表すとする。この時,
∀a,b∈Cに対して,μ_0:A→CをA∋∀{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}→μ_0({x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}):=Re(b)-Re(b)+i(Im(b)-Im(a))と定義すると,
μ|_A=μ_0でμ:B(C)→Cが複素測度となるようなものが一意的に存在する(∵拡張定理)。

次に,測度空間(Ω,∑,μ)において,f:Ω→Cを∑可測関数とし,f_Re^±(z):=max{0,±Re f(z)},f_Im^±(z):=max{0,±Im f(z)} (複合同順)と定義すると,
これらは実数値関数で Re f_k \nearrow f_Re^±(z), Im f_k \nearrow f_Im^±なる∑可測な単関数の列 (Re f_k)_{k=1}^∞,(Im f_k)_{k=1}^∞ が存在する(∵某命題)。

因みに,∑可測な単関数 Re f_kにはRe f_k(z)=∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z) (但し,a_m∈R,G_m∈∑, I_{G_m}は特性関数) なる(a_m)_{m=1}^k∈R^kと(G_m)∈∑^kが存在する。
この時,

∫_Ωfμ:=
sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^+(z) for∀z∈Ω}
-sup{∑_{m=1}^k a_m Re μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Re^-(z) for∀z∈Ω}
+i[sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^+(z) for∀z∈Ω}
-sup{∑_{m=1}^k a_m Im μ(G_m)∈[0,+∞);∑_{m=1}^k a_m I_{G_m}(z)≦f_Im^-(z) for∀z∈Ω}]

をfのルベーグ積分という。

続いて,ルベーグ積分に基づく複素積分の定義です。

J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列},
δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。
この時,
lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{
∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
+ i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])}
={l}
(ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という。

因みに, J([a,b])は閉集合なのでルベーグ可測集合であり,
inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1}))はルベーグ積分でのa_mに相当,
そして,
(J(p_m),J(p_{m+1})]はルベーグ積分でのG_mに相当してます。

さて,本題ですが、、

Jがジョルダン閉曲線の場合,始点と終点は重なってるので
μ(J([a,b]))=lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) μ((J(p_m),J(p_{m+1})])=0
となり,J[a,b]は零集合になると思います。

そこでf:C→CはJ([a,b])上とJの内部で正則な関数とし,c∈CはJ内部の点とする時,
1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz=f(c)
となりますよね(コーシの積分公式)?

しかしJ([a,b])は零集合なのでfやcのいかんにかかわらず常に積分値は0となってしまうと思うんです。
、、なので
コーシーの積分公式は
1/(2πi)∫_J f(z)/(z-c)dz≡0
となってしまい矛盾が生じてしまいます。

私は何処を勘違いしてるのでしょうか?

回答No.11

jcpmutura

その複素ルベーグ積分の定義の
測度は複素測度でなく実数(面積)測度
μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)|
です.
複素リーマン積分と一致するかどうかは不明です

お礼

もし一致するなら複素ルベーグ積分も向きを持ってる事になり矛盾するからです。複素ルベーグ積分は向きを持ってないんですよね?

補足

明らかに一致しないと思います。
何故なら複素ルベーグ積分には向きというものがないからです。

回答No.10

jcpmutura

A={x+iy|0≦x≦1,0≦y≦1}=[0,1+i]
B={x+iy|-1≦x≦0,0≦y≦1}=[-1,i]
とすると
A∪B={x+iy|-1≦x≦1,0≦y≦1}=[-1,1+i]

μ(A)=μ([0,1+i])=1+i
μ(B)=μ([-1,i])=1+i
μ(A∪B)=μ([-1,1+i])=2+i≠2+2i=μ(A)+μ(B)

だから
測度の定義
μ([a,b])=b-a
も
μ([a,b])=(|Re(a)-Re(b)|+i|Im(a)-Im(b)|)/|a-b|
も
μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)|](|Re(a)-Re(b)|+i|Im(a)-Im(b)|)/|a-b|
も
いずれも加法性が成り立ちません

μ(A∪B)=μ(A)+μ(B)
と加法性が成り立つような
なるような測度は複素測度でなく実数(面積)測度
μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)|
以外
わかりませんので、
ルベーク積分を用いて複素積分を定義する事は無理です.

補足

ご回答誠に有難うございます。

> A={x+iy|0≦x≦1,0≦y≦1}=[0,1+i]
> B={x+iy|-1≦x≦0,0≦y≦1}=[-1,i]
:
> μ(A∪B)=μ([-1,1+i])=2+i≠2+2i=μ(A)+μ(B)

有難うございます。なるほどです。

> ルベーク積分を用いて複素積分を定義する事は無理です.

複素積分をルベーグ積分と区別して複素リーマン積分と呼ぶ事にしますと,

ルベーグ積分の教科書には

複素ルベーグ積分の定義として

∫_Gfdμ=∫_G Re f dμ+i∫_G Im f dμ

がよく紹介されてますが,これにも向きという概念は無く,複素リーマン積分とは一致しないのですね。

つまり,複素積分には向きの無い複素ルベーグ積分と向きの有る複素リーマン積分の2種類が存在するという解釈でよろしいでしょうか?

回答No.9

jcpmutura

測度の定義
μ([a,b])=(|Re(a)-Re(b)|+i|Im(a)-Im(b)|)/|a-b|
を
μ([a,b])=|Re(a)-Re(b)||Im(a)-Im(b)|](|Re(a)-Re(b)|+i|Im(a)-Im(b)|)/|a-b|
に
訂正します

測度の定義
μ((α,β]):=Re(β-α)+iIm(β-α)
は
μ((α,β]):=β-α
と同じです

例えば
a=1
b=i
c=i
d=-1
とすると
(a,b]=(1,i]={x+iy|0≦x<1,0<y≦1}
(c,d]=(i,-1]={x+iy|-1≦x<0,0≦y<1}
μ{(a,b]}+μ{(c,d]}=μ{(1,i]}+μ{(i,-1]}=i-1-1-i=-2

(a,b]∪(c,d]={x+iy|-1≦x<1,0≦y≦1}=[-1,1+i]
だから
μ{(a,b]∪(c,d]}=μ[-1,1+i]=2+i≠-2=μ{(a,b]}+μ{(c,d]}
だから
加法性が成り立ちません

回答No.8

jcpmutura

少なくとも(複素)測度には向きという概念は存在しません.
ルベーク積分は
(複素)測度に向き付け関数を乗じて積分するので
積分の向きは向き付け関数によって決定されます

向き付け関数とは

0≦t≦π/2の時g(z)=z^2
π/2<t≦πの時g(z)=-1
π<t≦3π/2の時g(z)=-z^2
3π/2<t<2πの時g(z)=1

のようなg(z)の事です.

実積分の向き付け関数は
g(1)=1
g(-1)=-1
の2値だけをとるので簡単にルベーグ積分で定義できますが,

複素積分をルベーグ積分で定義しようとすると
複素積分で簡単に表現できるものが
非常に複雑難解なものになってしまうため
通常は、複素積分をルベーグ積分で定義しません

補足

ご回答誠に有難うございます。
なるほど。ルベーグ積分には向きという概念が存在しなかったのですね。。

> 向き付け関数とは

向き付け関数の定義とはどういうものでしょうか?
色々と書籍やググってみたのですが向き付け関数を説明してるサイトがなかなか見当たらないのですがそのようなサイトをご紹介いただけましたら幸いです。

> 0≦t≦π/2の時g(z)=z^2
> π/2<t≦πの時g(z)=-1
> π<t≦3π/2の時g(z)=-z^2
> 3π/2<t<2πの時g(z)=1
> のようなg(z)の事です.

イマイチよくわかりません。これは反時計回り(正の向き)・時計回り(負の向き)かは何処を見れば判断できるのでしょうか?
これが逆回りだとgはどのように書けるのでしょうか?

あと最後に、、

私の測度の定義μ((α,β]):=Re(β-α)+iIm(β-α)だとどうして加法性が成り立たないとわかるのでしょうか?
μ((a,b]∪(c,d])=b-a+d-cと定義すれば加法性は成り立つんじゃないでしょうか?

そして,f(z)/(z-c)はJ上では連続(但し,cはJの内部)なので可測関数ではないんでしょうか?

回答No.7

jcpmutura

[0,1+i]={x+iy|0≦x≦1,0≦y≦1}=[1+i,0]
だから
[0,1+i]と[1+i,0]は同一集合で

複素測度μは可測集合からC=(全複素数)への関数で

1つの可測集合に対してただ１つの値に定まるものを関数というのだから

μ[0,1+i]=μ[1+i,0]
とならなければなりません

μ[a,b]=μ[b,a]
とならなければなりません

μ[a,b]=b-a
と定義すると
μ[b,a]=a-b
となって

[a,b]と[b,a]は同一集合だから

b-a=μ[a,b]=μ[b,a]=a-b
2b=2a
b=a
すべてのa,bに対して

μ[b,a]=a-a=0
となってしまいます
μ[a,b]=b-a
と定義することはできません

補足

ご回答誠に有難うございます。

> [0,1+i]={x+iy|0≦x≦1,0≦y≦1}=[1+i,0]

つまり,ルベーグ積分には"積分の向き"という概念が存在しないのですね?

という事はもやは私が行って来た事は"向き"という定義ずけが不可能なルベーグ積分を用いて複素積分を定義する事など無理だという事だったと言う事なのでしょうか?

回答No.6

jcpmutura

複素積分の定義が違います
f(z)も複素数でdz=J(p_{m+1})-J(p_m)も複素数
なのだから複素数の乗算は
実部どうし虚部どうしをかけたものではありません

∫[J]f(z)dz
=∫[J][Re{f(z)}+i*Im{f(z)}][Re(dz)+i*Im(dz)]
=∫[J][Re{f(z)}Re(dz)-Im{f(z)}Im(dz)]+i[Re{f(z)}*Im(dz)+Im{f(z)}Re(dz)]
となります

簡単のためジョルダン閉曲線を
|z|=1
とします
dzの複素測度をdμとすると
dμ=|Re(dz)|+i|Im(dz)|
となり
z=e^{it}
とすると
dz=ie^{it}dt
dz=e^{i(t+π/2)}dt
dz={cos(t+π/2)+i*sin(t+π/2)}dt
だから
dμ={|cos(t+π/2)|+i|sin(t+π/2)|}dt
だから
0≦t≦π/2の時は
π/2≦t+π/2≦πだから
cos(t+π/2)≦0
sin(t+π/2)≧0
だから
dμ={-cos(t+π/2)+i*sin(t+π/2)}dt
dμ=[cos{(π/2)-t}+i*sin{(π/2)-t}]dt
dμ=ie^{-it}dt
だから
dz=e^{2it}dμ
dz=(z^2)dμ

π/2≦t≦πの時は
π≦t+π/2≦3π/2だから
cos(t+π/2)≦0
sin(t+π/2)≦0
だから
dμ={-cos(t+π/2)-i*sin(t+π/2)}dt
dμ={cos(t-π/2)+i*sin(t-π/2)}dt
dμ=-ie^{it}dt
dz=-dμ

π≦t≦3π/2の時は
3π/2≦t+π/2≦2πだから
cos(t+π/2)≧0
sin(t+π/2)≦0
だから
dμ={cos(t+π/2)-i*sin(t+π/2)}dt
dμ={cos(-t-π/2)+i*sin(-t-π/2)}dt
dμ=-ie^{-it}dt
dz=-e^{2it}dμ
dz=(-z^2)dμ

3π/2≦t≦2πの時は
2π≦t+π/2≦5π/2だから
cos(t+π/2)≧0
sin(t+π/2)≧0
だから
dμ={cos(t+π/2)+i*sin(t+π/2)}dt
dμ=ie^{it}dt
dz=dμ

0≦t≦π/2の時g(z)=z^2
π/2<t≦πの時g(z)=-1
π<t≦3π/2の時g(z)=-z^2
3π/2<t<2πの時g(z)=1
とすれば

∫[|z|=1}dz=∫[|z|=1}g(z)dμ

補足

ご回答誠に有難うございます。 少し混乱してるかもです。

> 加法性が成り立ちません

すみません。これはどういうことでしょうか?
複数個の素集合がある時には
μ(a,b]+μ(c,d]=b-a+d-c
と定義してやれば
可算個の素集合(a_m,b_m]については
μ(∪_{m=1}^∞(a_m,b_m])=∑_{m=1}^∞μ(a_m,b_m]
とσ加法性を満たしますよね。

> 複素積分の定義が違います

私の解釈ではキチンと述べると連続曲線J:[a,b]→C (a,b∈R) をジョルダン曲線とし,
P(a,b):=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列} (p_1:=a,p_{k+1}:=b)とし,
δ(a,b):P(a,b)→(0,b-a)をP(a,b)∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ(a,b)((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k}とし,
f_Re^±(z):=max{0,±Re f(z)},f_Im^±(z):=max{0,±Im f(z)} (複合同順)とする。この時,

lim{n→∞}∪{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ(a,b)^{-1}(1/n)}{
∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re(J(p_{m+1})-J(p_m)))
-∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re(J(p_{m+1})-J(p_m)))
+i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im(J(p_{m+1})-J(p_m))
-∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im(J(p_{m+1})-J(p_m)))}
={l}
(ここでk:N→Nは単調増加列) なるl∈Cが存在する時,fはJ上で複素積分可能といい,∫_J f(z)dzと表す。
と解釈してますがこれも勘違いしておりますでしょうか?

> f(z)も複素数でdz=J(p_{m+1})-J(p_m)も複素数
:
> とすれば
> ∫[|z|=1}dz=∫[|z|=1}g(z)dμ

∫_{|z|=1}dz=∫_{右上}z^2dμ+∫_{左上}-1dμ+∫_{左下}-z^2dμ+∫_{右下}1dμ
と変形できますね。

さて、ご紹介頂いたdμ=|Re(dz)|+i|Im(dz)|を使うと,,,

S:=∫_{|z|=1}dz=lim{n→∞}∪{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ(0,2π)^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) 1μ(exp(ip_m),exp(ip_{m+1}))
=lim{n→∞}∪{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ(0,2π)^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) 1 |Re(exp(ip_{m+1}-exp(ip_{m+1})))| + i|Im(exp(ip_{m+1}-exp(ip_{m+1})))|

となり,時計回り

T:=∫_{|z|=1}dz=lim{n→∞}∪{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ(2π,0)^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) 1μ(exp(ip_m),exp(ip_{m+1}))
=lim{n→∞}∪{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ(2π,0)^{-1}(1/n)}{∑_{m=1}^k(n) 1 |Re(exp(ip_{m+1}-exp(ip_{m+1})))| + i|Im(exp(ip_{m+1}-exp(ip_{m+1})))|
でも絶対値が効いてるせいで,T=-Sに関係なりません。

やはり,
max(Re(a),Re(b))-min(Re(a),Re(b))+i(max(Im(a),Im(b))-min(Im(a),Im(b)))
を採用するとルベーグ積分には"向き"という概念が存在しない事になり
複素積分の正の向き,負の向きという向きを持った積分と辻褄が合わないと思うのですが、、いかがでしょうか?

回答No.5

jcpmutura

複素測度の定義が間違っています
https://ja.wikipedia.org/wiki/複素測度
に
可測空間(X,Σ)上の複素測度μとは,正式には,Σ上の複素数値関数
μ:Σ→C
でσ-加法的であるようなもののことを言う.
すなわち,Σに含まれる任意の素集合の列(A_n)nに対し,
μ(∪_{n=1～∞}A_n)=Σ_{n=1～∞}μ(A_n)
が成り立つ
と書いてあるとおり
μ[a,b]=μ[b,a]=μ(a,b)=μ(b,a)=μ[a,b)=μ(a,b]=μ[b,a)=μ(b,a]
実数部≧0,虚数部≧0
でなければ
集合上の関数となりませんし
加法性が成り立ちません

A:={{x+iy∈C;x∈(min(Re(a),Re(b)),max(Re(a),Re(b))],y∈(min(Im(a),Im(b)),max(Im(a),Im(b))]}∈2^C;a,b∈C}}

∀a,b∈Cに対して,μ_0:A→Cを
A∋∀{x+iy∈C;x∈(min(Re(a),Re(b)),max(Re(a),Re(b))],y∈(min(Im(a),Im(b)),max(Im(a),Im(b))]}
→μ_0({x+iy∈C;x∈(min(Re(a),Re(b)),max(Re(a),Re(b))],y∈(min(Im(a),Im(b)),max(Im(a),Im(b))]})
:=max(Re(a),Re(b))-min(Re(a),Re(b))+i(max(Im(a),Im(b))-min(Im(a),Im(b)))

とすべきです

補足

ご回答誠に有難うございます。

> https://ja.wikipedia.org/wiki/複素測度

有難うございます。参考になります。

> →μ_0({x+iy∈C;x∈(min(Re(a),Re(b)),max(Re(a),Re(b))],y∈(min(Im(a),Im(b)),max(Im(a),Im(b))]})
> :=max(Re(a),Re(b))-min(Re(a),Re(b))+i(max(Im(a),Im(b))-min(Im(a),Im(b)))
> とすべきです

ふーむ。。ではジョルダン曲線Jが正の向きの時に積分値が負の向きの積分値の-1倍になるように測度をリンクさせるにはどうすればいいのでしょうか?

(測度という言葉を使わない)複素積分の定義は

『J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列},
δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。
この時,
lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{
∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re (J(p_{m+1}-J(p_m)))
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re (J(p_{m+1}-J(p_m)))
+ i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im (J(p_{m+1}-J(p_m)))
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im (J(p_{m+1}-J(p_m))))}
={l}
(ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という』

ですよね?

この時,Jの反対向きの積分は逆向き(b→a)なので素直(?)に

『J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列},
δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。
この時,
lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{
∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re (J(p_m-J(p_{m+1})))
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re (J(p_m-J(p_{m+1})))
+ i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im (J(p_m-J(p_{m+1})))
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im (J(p_m-J(p_{m+1})))}
={-l}
(ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,
fは複素積分可能という』

と書き表せますよね?

これと合致させる為にるルベーグ積分の定義としてa,b∈Cに対してμ_0(('a,b]'):=b-a∈Cで拡張される測度μを採用すれば

『J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列},
δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。
この時,
lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{
∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
+ i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im μ((J(p_m),J(p_{m+1})])}
={l}
(ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という。』

という具合に測度と可測集合からなる単関数の極限値として表せ, 逆向きも

『J:[a,b]→Cをジョルダン曲線とし,P:=∪_{2≦k∈N}{(p_m)_{m=2}^k∈(a,b)^k;(p_m)_{m=2}^kは増加列},
δ:P→(p,b-a)をP∋∀(p_m)_{m=2}^k→δ((p_m)_{m=2}^k):=max{p_2-p_1,p_3-p_2,…,p_{k+1}-p_k} (但し,p_1=a,p_{k+1}=b)と定義する。
この時,
lim_{n→∞}∪_{(p_m)_{m=2}^k(n)∈δ^{-1}(1/n)}{
∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^+(J(p_m,p_{m+1})) Re μ(J(p_{m+1},J(p_m)))
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Re^-(J(p_m,p_{m+1})) Re μ(J(p_{m+1},J(p_m)))
+ i(∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^+(J(p_m,p_{m+1})) Im μ(J(p_{m+1},J(p_m)))
- ∑_{m=1}^k(n) inf f_Im^-(J(p_m,p_{m+1})) Im μ(J(p_{m+1},J(p_m))))}
={l}
(ここでk(n)はnのよって決まる自然数) なるl∈Cが存在する)時,fは複素積分可能という』

と書け,複素積分の定義と自然(?)に合致しスッキリするなぁと感じたのでした。

いかがでしょうか? いまだ勘違いしておりますでしょうか?

回答No.4

jcpmutura

Jがジョルダン閉曲線の場合で,始点と終点は重なっていても
μ(J([a,a]))=0
とはなりません
aからaへ戻るまでの経路によって
μ(J([a,a]))
の(実部>0&虚部≧0).or.(実部≧0&虚部>0)
の値になります
{
μ((J(p_m),J(p_{m+1})])
の(実部>0&虚部≧0).or.(実部≧0&虚部>0)
だから
}

補足

ご回答誠に有難うございます。

> Jがジョルダン閉曲線の場合で,始点と終点は重なっていても
> μ(J([a,a]))=0
> とはなりません

すみません。間違えました。

『次にB(C)をC上のボレル集合体,A:={{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}∈2^C;a,b∈C}}を表すとする。この時,
∀a,b∈Cに対して,μ_0:A→CをA∋∀{x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}→μ_0({x+iy∈C;x∈(Re(a),Re(b)],y∈(Im(a),Im(b)]}):=Re(b)-Re(b)+i(Im(b)-Im(a))』

↓

『次にB(C)をC上のボレル集合体,A:={('α,β]'∈2^C;α,β∈C}}を表すとする (但し,('α,β]':={α+tβ∈C;t∈(0,1]})。この時,
∀α,β∈Cに対して,μ_0:A→CをA∋∀('α,β]'→μ_0(('α,β]'):=Re(β)-Re(α)+i(Im(β)-Im(α))』

と書くべきでした!! 大変失礼致しました。

このμ_0から拡張される複素測度μを使えば,
ジョルダン閉曲線Jが時計回りの場合はμ(('J(p_m),J(p_{m+1})]')は反時計回りのμ(('J(p_m),J(p_{m+1})]')を-1倍したものになるので,
複素積分の積分範囲の向きにも合致しますよね。

という訳で、、

このμならμ(J)=0になりますよね?

回答No.3

jcpmutura

1/zはz=0で正則でないが|z|=1で正則だけれども

∫_{|z|=1}(1/z)dz
↓
z=e^{it}
とすると
1/z=e^{-it}
dz=ie^{it}dt
0≦t≦2π
だから
↓
=∫_{0～2π}(e^{-it})(ie^{it})dt
=i∫_{0～2π}dt
=i[t]_{0～2π}
=2πi

だから
0になりません

回答No.2

jcpmutura

f(z)/(z-c)
はz=cで定義されていないので
[c-1,c+1]∈Ω
で定義されていないので
f(z)/(z-c)
は可測関数ではありません

補足

ご回答誠に有難うございます。
今,J上でのルベーグ積分でf(z)/(z-c) は(cはJ上になく)J上で定義されてさえいれば十分なのではないでしょうか?
あと,f(z)/(z-c)の可測性についてですがf(z)/(z-c):C＼{c}→CとなっていてC＼{c}上で連続なので∀B∈B(C)に対して,
{z∈C＼{c};f(z)/(z-c)∈B}∈B(C＼{c})となる事は直ちにわかりますよね。
よってf(z)/(z-c)は可測関数となるのではないでしょうか?

それに[c-1,c+1]∈Ωでは非可測であるとどうしてわかるのでしょうか?