複素積分（コーシーの積分定理）について質問です

質問

zを複素数としする。コーシーの積分定理によれば「関数f(z)が領域Dで正則であるとして、領域D内の任意の閉曲線Cの内部が領域Dに含まれる場合、閉曲線Cに沿った関数f(z)の周回積分は0になる。」が成り立つと思います。

そこで次の問題を考えました。（zは複素数変数、aは実数の定数、iは虚数単位とする）
「原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める。」
閉曲線Cの内部で関数f(z)は正則だけれども、閉曲線Cは関数f(z)が正則でないz=aiの点を含んでいるのでコーシーの積分定理は利用できない。…(1)

そこで、次のように積分を行うことにしました。閉曲線Ｃを複素数で表して、C：z=a*exp(iθ) (0≦θ≦2π)
dz/dθ=ai*exp(iθ)
よってI =∫f(z)dz =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ (積分範囲は0≦θ≦2π)
ここで、[Ln(a*exp(iθ)-ai)](0≦θ≦2π)=0…(2)

そこで質問です。
(1)は正しく、閉曲線の外周上に被積分関数が正則で無い部分があるなら、コーシーの積分定理は成立しないのでしょうか？
(2)ln(z)は無限多価関数なので、どの複素関数の不定積分でもないと思ったので、Ln(z)を不定積分として用いたのですが、これは大丈夫なのでしょうか？

ご回答よろしくお願いします。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

そもそも，

∫_{-1}^{1} (1/x) dx

って大丈夫？

質問文の例だと θ=π/2 の近傍ってことかな

ついでにいうと，留数のちょっとした応用で

偏角の原理
∫_C f'(z)/f(z) dz = C内のfのゼロ点の個数

ってのがあるんだけど，これはC上にfのゼロ点が存在しないのが前提になるんだ．
なんでこんな前提があるんだろうね

お礼

こんにちは。ご回答ありがとうございます。
確かに、θ=π/2付近では、被積分関数の分母がai-aiに近づきます。
また、そもそも（閉）曲線C上でf(z)が定義されていない点があれば、積分を行えない気がします。

回答No.2

misumiss

画像まで添付してくださって, ありがとうございます。
ただ, ANo.1 に補足してくださった内容は, 質問文を読んで理解できておりました。

以下, ∫f(z)dz とかいた場合, ∫ の右下に C を補って読んでください。

お尋ねしたかったのは, 曲線 C に関する f(z) の積分 ∫f(z)dz の, そもそもの定義です。
この質問では, f(z) = 1/(z - ai) で, C は 0 を中心とする半径 a の円周ですが, これを当てはめたうえで, ∫f(z)dz をどう定義するのかお聞きしたいのです。

補足

再度ご回答ありがとうございます。
申し上げにくいのですが、「∫f(z)dzの定義」と言われると分かりません。
計算方法としては、I =∫{ai*exp(iθ)/(a*exp(iθ)-ai)}dθ、となるとは思うのですが、普段はこのようなものとして解いていました。

回答No.1

misumiss

"原点を中心とする半径aの円を閉曲線Cとする。閉曲線Cに沿った、関数f(z)=1/(z-ai)の周回積分Iをを求める," と仰っていますが, "周回積分I" をどのように定義なさっているのですか。

補足

こんばんは。ご指摘ありがとうございます。
複素数平面を、実軸の正の方向が右手に、虚軸の正の方向が上手に来るように見たときに、閉曲線Cは、その内側を左手に見る（反時計回りの）方向を持っているとします。
式を画像として添付しましたので、お時間があれば再度ご回答をお願いします。